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Equations d'ordre supérieur à un et systèmes
Rappel : Equation différentielle d'ordre n

Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre est une équation faisant intervenir une fonction inconnue , ses dérivées jusqu'à l'ordre , et éventuellement la variable .

On note généralement et les dérivées d'ordre 1 et 2, et la dérivée d'ordre , si .

Nous nous intéresserons aux équations qui peuvent s'écrire sous la forme

Démonstration : Equations du second ordre

Considérons une équation du second ordre .

Si on désigne ' par la variable supplémentaire , alors est la dérivée de par rapport à , et l'équation du second ordre devient .

Il faut lui rajouter l'information que .

On a ainsi transformé une équation du second ordre en un système de 2 équations du premier ordre :

Exemple

L'équation se traduit par le système

Démonstration : Equations d'ondre n

En considérant les dérivées successives comme de nouvelles fonctions inconnues notées , l'équation d'ordre n se traduit par le système différentiel

Ainsi, l'étude des systèmes différentiels recouvre celle des équations d'ordre supérieur à un.

Exemple

L'équation du troisième ordre

se traduit par le système différentiel

Il s'agit d'un système linéaire à coefficients constants avec second membre ; nous verrons comment résoudre de tels systèmes en utilisant des résultats d'algèbre linéaire.

Légende :
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