Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs propres réelles de même signe
Nous nous intéressons ici aux trajectoires[1] du système \(X' = AX\), où la matrice \(A\) est de dimension 2 et admet deux valeurs propres réelles \(0< \lambda < \mu\).
Les vecteurs propres \(V\) et \(W\) relatifs à λ et μ forment une base de \(R^2\).
La solution générale du système s'écrit
\(X(t)=C\textrm{exp}(\lambda t)V+D\textrm{exp}(\mu t)W\)
Il s'agit d'étudier ces courbes paramétrées selon les valeurs de \(C\) et \(D\).
L'étude se fait facilement en raisonnant dans la base \((U,V)\).
Si \(C = D = 0\), la trajectoire se réduit au point \(O = (0,0)\).
Si \(D = 0\) et \(C \neq 0\), la trajectoire est la demi-droite issue de \(O\), de direction \(V\) si \(C > 0\), et \(-V\) si \(C < 0\). Lorsque \(t\) va de \(-\infty\) à \(+\infty\) , elle est parcourue de \(O\) vers l'infini.
Si \(C = 0\) et \(D \neq 0\), la trajectoire est la demi-droite issue de \(O\), de direction \(W\) si \(D > 0\), et \(-W\) si \(D < 0\). Lorsque \(t\) va de \(-\infty\) à \(+\infty\) , elle est parcourue de\(O\) vers l'infini.
Si \(C \neq 0\) et \(D \neq 0\), la trajectoire part de l'origine (pour \(t\) tendant vers \(-\infty\) ) tangentiellement à \(V\) ou \(-V\), et admet une branche infinie parabolique de direction \(W\) ou \(- W\) (pour \(t\) tendant vers \(+\infty\) ).Selon les signes de \(C\) et \(D\), la trajectoire reste dans un des quarts de plan déterminé par les droites de directions \(V\) et \(W\).
On dit que l'origine est un nœud répulsif (répulsif car les trajectoires sont parcourues depuis l'origine).
Exemple :
Soit le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x' = - y \\ y' = 2x + 3y\end{array}\right.}\)
Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2-3\lambda+2\) ; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut 3, donc elles sont positives. On a bien affaire à un noeud répulsif.
Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont bleues près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.
Valeurs propres négatives
Si les valeurs propres de la matrice \(A\) sont \(\mu < \lambda < 0\), les trajectoires sont du même type que précédemment, mais leur sens de parcours est inversé : elles sont parcourues depuis l'infini (pour \(t\) tendant vers \(-\infty\) ) vers l'origine (pour \(t\) tendant vers \(+\infty\) ).
On dit que l'origine est un nœud attractif ( car les trajectoires sont parcourues vers l'origine).
Exemple :
Soit le système :
\(x' = y\)
\(y' = -2x - 3y\)
Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2+3\lambda+2\) ; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut -3, donc elles sont négatives. On a bien affaire à un noeud attractif.
Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont rouges près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.