| Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs propres réelles de même signe |
Nous nous intéressons ici aux trajectoires du système
, où la matrice
est de dimension 2 et admet deux valeurs propres réelles
.
Les vecteurs propres
et
relatifs à λ et μ forment une base de
.
La solution générale du système s'écrit
Il s'agit d'étudier ces courbes paramétrées selon les valeurs de
et
.
L'étude se fait facilement en raisonnant dans la base
.
Si
, la trajectoire se réduit au point
. Si
et
, la trajectoire est la demi-droite issue de
, de direction
si
, et
si
. Lorsque
va de
à
, elle est parcourue de
vers l'infini. Si
et
, la trajectoire est la demi-droite issue de
, de direction
si
, et
si
. Lorsque
va de
à
, elle est parcourue de
vers l'infini.Si
et
, la trajectoire part de l'origine (pour
tendant vers
) tangentiellement à
ou
, et admet une branche infinie parabolique de direction
ou
(pour
tendant vers
).Selon les signes de
et
, la trajectoire reste dans un des quarts de plan déterminé par les droites de directions
et
.
On dit que l'origine est un noeud répulsif (répulsif car les trajectoires sont parcourues depuis l'origine).
Soit le système
Son polynôme caractéristique est
; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut 3, donc elles sont positives. On a bien affaire à un noeud répulsif.
Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont bleues près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.
Si les valeurs propres de la matrice
sont
, les trajectoires sont du même type que précédemment, mais leur sens de parcours est inversé : elles sont parcourues depuis l'infini (pour
tendant vers
) vers l'origine (pour
tendant vers
).
On dit que l'origine est un noeud attractif ( car les trajectoires sont parcourues vers l'origine).
Soit le système :
Son polynôme caractéristique est
; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut -3, donc elles sont négatives. On a bien affaire à un noeud attractif.
Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont rouges près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.
