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Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs propres réelles de même signe

Nous nous intéressons ici aux trajectoires du système , où la matrice est de dimension 2 et admet deux valeurs propres réelles .

Les vecteurs propres et relatifs à λ et μ forment une base de .

La solution générale du système s'écrit

Il s'agit d'étudier ces courbes paramétrées selon les valeurs de et .

L'étude se fait facilement en raisonnant dans la base .

  • Si , la trajectoire se réduit au point .

  • Si et , la trajectoire est la demi-droite issue de , de direction si , et si . Lorsque va de à , elle est parcourue de vers l'infini.

  • Si et , la trajectoire est la demi-droite issue de , de direction si , et si . Lorsque va de à , elle est parcourue de vers l'infini.

  • Si et , la trajectoire part de l'origine (pour tendant vers ) tangentiellement à ou , et admet une branche infinie parabolique de direction ou (pour tendant vers ).Selon les signes de et , la trajectoire reste dans un des quarts de plan déterminé par les droites de directions et .

On dit que l'origine est un noeud répulsif (répulsif car les trajectoires sont parcourues depuis l'origine).

Exemple

Soit le système

Son polynôme caractéristique est ; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut 3, donc elles sont positives. On a bien affaire à un noeud répulsif.

Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont bleues près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.

Valeurs propres négatives

Si les valeurs propres de la matrice sont , les trajectoires sont du même type que précédemment, mais leur sens de parcours est inversé : elles sont parcourues depuis l'infini (pour tendant vers ) vers l'origine (pour tendant vers ).

On dit que l'origine est un noeud attractif ( car les trajectoires sont parcourues vers l'origine).

Exemple

Soit le système :

Son polynôme caractéristique est ; son discriminant est 1, donc positif ; le produit des racines vaut 2, donc elles sont de même signe ; leur somme vaut -3, donc elles sont négatives. On a bien affaire à un noeud attractif.

Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont rouges près de l'origine. Vous pouvez cliquer pour faire tracer de nouvelles trajectoires.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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