Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs propres réelles de signes contraires

Intéressons nous aux trajectoires[1] du système \(X' = AX\), où la matrice \(A\) est de dimension 2 et admet deux valeurs propres réelles λ < 0 < μ.

Les vecteurs propres \(V\) et \(W\) relatifs λ à μ et forment une base de \(R^2\).

La solution générale du système s'écrit

\(X(t)=C\textrm{exp}(\lambda t)V+D\textrm{exp}(\mu t)W\)

Les trajectoires sont des courbes paramétrées par \(t\) qui, dans la base \((V, W)\), s'écrivent

\(v(t)=C\textrm{exp}(\lambda t),w(t)=D\textrm{exp}(\mu t)\)

Il s'agit d'étudier ces courbes paramétrées selon les valeurs de \(C\) et \(D\).

  • Si \(C = D = 0\), la trajectoire se réduit au point \(O = (0,0)\).

  • Si \(D = 0\) et \(C \neq 0\), la trajectoire est la demi-droite dirigée vers \(O\), de direction \(V\) si \(C > 0\), et\( -V\) si \(C < 0\).. Lorsque \(t\) va de \(-\infty\) à \(+\infty\) , elle est parcourue de l'infini vers \(O\).

  • Si \(C = 0\) et \(D \neq 0\), la trajectoire est la demi-droite issue de \(O\), de direction \(W\) si \(D > 0\), et\( -W\) si \(D < 0\). Lorsque \(t\) va de \(-\infty\) à \(+\infty\) , elle est parcourue de \(O\) vers l'infini.

  • Si \(C \neq 0\) et \(D \neq 0\), la trajectoire "part" ( pour \(t\) tendant vers \(-\infty\) ), asymptotique à la droite passant par \(O\) de direction \(V\), et "finit" (pour t tendant vers \(+\infty\) ) asymptotique à la droite passant par \(O\) de direction \(W\). Selon les signes de \(C\) et \(D\), la trajectoire reste dans un des quarts de plan déterminés par les droites de directions \(V\) et \(W\).

On dit que l'origine est un col (ou point selle).

Exemple

Considérons le système

\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=-2x-y \\ y'=3x+4y\end{array}\right.}\)

Le polynôme caractéristique du système est \(\lambda^2-2\lambda-5\) dont dont le discriminant est positif. Comme le produit des racines vaut -5, les valeurs propres du système sont donc réelles de signes contraires.

Les asymptotes des trajectoires sont les droites engendrées par les vecteurs propres.

Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge.