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Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs propres réelles de signes contraires

Intéressons nous aux trajectoires du système , où la matrice est de dimension 2 et admet deux valeurs propres réelles λ < 0 < μ.

Les vecteurs propres et relatifs λ à μ et forment une base de .

La solution générale du système s'écrit

Les trajectoires sont des courbes paramétrées par qui, dans la base , s'écrivent

Il s'agit d'étudier ces courbes paramétrées selon les valeurs de et .

  • Si , la trajectoire se réduit au point .

  • Si et , la trajectoire est la demi-droite dirigée vers , de direction si , et si .. Lorsque va de à , elle est parcourue de l'infini vers .

  • Si et , la trajectoire est la demi-droite issue de , de direction si , et si . Lorsque va de à , elle est parcourue de vers l'infini.

  • Si et , la trajectoire "part" ( pour tendant vers ), asymptotique à la droite passant par de direction , et "finit" (pour t tendant vers ) asymptotique à la droite passant par de direction . Selon les signes de et , la trajectoire reste dans un des quarts de plan déterminés par les droites de directions et .

On dit que l'origine est un col (ou point selle).

Exemple

Considérons le système

Le polynôme caractéristique du système est dont dont le discriminant est positif. Comme le produit des racines vaut -5, les valeurs propres du système sont donc réelles de signes contraires.

Les asymptotes des trajectoires sont les droites engendrées par les vecteurs propres.

Sur le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge.

Légende :
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