Portrait de phase - Cas où la matrice A possède deux valeurs complexes de partie réelle non nulle
Il s'agit d'étudier les trajectoires[1] du système \(X ' = A X\), où la matrice \(A\) est de dimension 2 et admet deux valeurs propres complexes conjuguées
On a vu que la solution générale réelle du système s'écrit
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x(t)=e^{\alpha t}[C\cos\beta t+D\sin\beta t] \\ y(t)=e^{\alpha t}[E\cos\beta t+F\sin\beta t]\end{array}\right.}\)
où \(C\) et \(D\) sont choisis arbitrairement, \(E\) et \(F\) se calculant en fonction de \(C\) et \(D\) en reportant \(x(t)\) et \(y(t)\) dans une des équations du système initial.
Il s'agit d'étudier les trajectoires correspondantes.
Propriété : Affirmation
Les trajectoires sont des spirales.
Si \(\alpha > 0\), les solutions "partent" de l'origine (pour \(t\) tendant vers \(-\infty\)), puis spiralent et tendent en module vers l'infini quand \(t\) tend vers \(+\infty\)
Si \(\alpha < 0\), elles "arrivent" à l'origine (pout \(t\) tendant vers \(+\infty\)) en spiralant.
Cette assertion n'a un sens mathématique que si on a défini le mot "spirale".
Démonstration :
Il existe une transformation linéaire inversible du plan qui envoie les trajectoire non constantes sur des spirales logarithmiques.
Si \(\alpha > 0\), elles "partent" de l'origine (pour \(t\) tendant vers \(-\infty\)), et tendent en module vers l'infini quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
Si \(\alpha < 0\), elles "partent de l'infini", et tendent vers l'origine pour \(t\) tendant vers \(+\infty\).
Les vecteurs propres de la matrice A sont des vecteurs complexes conjugués, de la forme \(U + iV\) et \(U - iV\) (\(U\), \(V\) vecteurs de \(R^2\) ).
On a vu que dans la base \((U,V )\) les solutions du système s'écrivent
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}u(t)=\textrm{exp}(\alpha t)[A\cos(\beta t)-B\sin(\beta t)] \\ v(t)=\textrm{exp}(\alpha t)[B\cos(\beta t)+A\sin(\beta t)\end{array}\right.}\)
On peut vérifier qu'on passe des conditions initiales \((u_0,v_0)\) à la position à l'instant \(t\) \((u(t),v(t))\) par le relation matricielle
\(\displaystyle{\left[\begin{array}{cc}u(t) \\ v(t)\end{array}\right] = \textrm{exp}(\alpha t) \left(\begin{array}{ll}\cos\beta t - \sin\beta t \\ \sin\beta t \cos\beta t\end{array}\right)\left[\begin{array}{ll}u_0 \\ v_0\end{array}\right]}\)
La transformation linéaire qui correspond à ce passage est la composée d'une homothétie de rapport \(\textrm{exp} \alpha t\) et d'une rotation d'angle \(\beta t\).
Les trajectoires tournent donc autour de l'origine, et en même temps s'en rapprochent (si \(\alpha < 0\)) ou s'en éloignent (si \(\alpha > 0\)).
Si \((U,V)\) était un système orthonormé, les trajectoires seraient des spirales logarithmiques(en général ce n'est pas le cas, et on obtient des "spirales aplaties").
Une transformation linéaire qui envoie \((U,V)\) sur une base orthonormée envoie donc les trajectoires sur des spirales logarithmiques.
On laisse le lecteur démontrer les affirmations relatives au comportement des solutions quand \(t \rightarrow \pm \infty\), suivant le le signe de \(\alpha\).
On dit que l'origine est un foyer (répulsif si \(\alpha > 0\), attractif si \(\alpha < 0\))
Exemple :
Soit le système
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{ll}x'=x+y \\ y'=-4x+y\end{array}\right.}\)
Le polynôme caractéristique est \(\lambda^2-2\lambda+5\)
Le discriminant -16 est négatif, donc les racines sont complexes conjuguées ; leur somme vaut +2, donc leurs parties réelles sont positives : on a affaire à un foyer répulsif.
Dans le dessin ci-dessous, les trajectoires sont parcourues du bleu vers le rouge, donc elles sont bleues près de l'origine.