Potentiel V créé par une distribution continue : fil chargé uniformément 1/1
Partie
Question
Soit un fil infiniment long chargé uniformément par une densité linéique de charges \(\lambda\). Le champ créé à une distance \(\rho\) est donné par la relation : \(\vec E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \rho} \vec u_{\rho}\) .
a) Quelle est la différence de potentiel existant entre deux points \(A\) et \(B\) situés respectivement à la distance \(\rho_A\) et \(\rho_B\) du fil ? Application numérique : \(\lambda = 1 ~ \mathrm{nC.m}^{-1}\), \(\rho_A=1 ~ \mathrm{cm}\), \(\rho_B=10 ~ \mathrm{cm}\) .
b) Peut-on prendre l'origine des potentiels à l'infini ?
Aide simple
a) \(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \vec E . \mathrm d \vec M}\)
\(\mathrm d \vec M\) est un déplacement élémentaire sur tout contour reliant les points \(A\) et \(B\).
Aide détaillée
a) Le système étant de révolution autour d'un axe, il est préférable d'exprimer \(\mathrm d \vec M\) en coordonnées cylindriques.
Rappel de cours
Voir la page Définition
Solution simple
a) \(V(A) - V(B) = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \frac{\rho_B}{\rho_A}\)
Application numérique : \(V(A) - V(B) = V\)
Solution détaillée
a) En coordonnées cylindriques : \(\mathrm d \vec M = \mathrm d \rho ~ \vec u_\rho + \rho \mathrm d \theta ~ \vec u_{\theta} + \mathrm d z ~ \vec u_z\)
\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \vec E . \mathrm d \vec M}\)
\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 \rho} \vec u_\rho . (\mathrm d \rho ~ \vec u_\rho + \rho \mathrm d \theta ~ \vec u_{\theta} + \mathrm d z ~ \vec u_z)}\)
Les produits scalaires \(\vec u_{\rho} . \vec u_{\theta}\) et \(\vec u_{\rho} . \vec u_z\) sont nuls car les vecteurs sont orthogonaux.
\(\vec u_{\rho} . \vec u_{\rho} = 1\)
\(V(A) - V(B) = - \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} [\ln \rho]_{\rho_B}^{\rho_A} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \Big( \frac{\rho_B}{\rho_A} \Big)\)
Application numérique : \(V(A) - V(B) = 10^{-9}(18.10^9) \ln(10) = 41,4 ~ \mathrm V\).
b) L'intégrale menant au calcul de \(V(A) - V(B)\) diverge si une des bornes est infinie. On ne peut donc prendre l'origine des potentiels à l'infini. Cela est dû au fait que le fil étant infiniment long , la source n'est pas localisée et il y a des charges à l'infini.