V créé par une sphère métallique chargée 1/1
Partie
Question
Soit une sphère métallique chargée, de centre \(O\), rayon \(R\), portant une charge \(Q\), le champ \(\vec E\) est nul à l'intérieur de la sphère, et vaut \(\frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \vec u\) à l'extérieur de la sphère, comme si la charge était concentrée en \(O\).
Quel est le potentiel en tout point \(M\), qu'il soit extérieur ou intérieur à la sphère ?
Aide simple
\(\displaystyle{V(M) = - \int_{\infty}^M \vec E . \mathrm d \vec M}\)
Aide détaillée
Pour aller de l'\(\infty\) à \(M\), le trajet le plus simple est de suivre un rayon.
Solution simple
\(V(M) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}\)
Solution détaillée
\(M\) extérieur à la sphère, le trajet le plus simple pour aller de l'\(\infty\) au point \(M\) est de suivre un rayon.
\(\mathrm d \vec M = \mathrm d r ~ \vec u\)
\(\displaystyle{V(M) = - \int_{\infty}^M \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \vec u ~ \mathrm d r ~ \vec u}\)
\(V(M) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}\)
\(M\) intérieur à la sphère
Le trajet venant de l'infini doit être décomposé en deux parties suivant qu'il est extérieur ou intérieur à la sphère :
\(\displaystyle{V(M) = - \int_{\infty}^R \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \vec u ~ \mathrm d r ~ \vec u + \int_R^M \vec 0 ~ \mathrm d r ~ \vec u}\)
\(V(M) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R}\) est identique pour tout point intérieur à la sphère.
La sphère est un volume équipotentiel.