Déduire le potentiel V du champ E 1/1
Partie
Question
Deux plaques conductrices distantes de \(e\) sont chargées respectivement d'une densité surfacique de charges \(+ \sigma\) et \(- \sigma\). Il règne un champ \(\vec E = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \vec u_x\) entre les plaques.
Quelle est la différence de potentiel \(V(A) - V(B)\) entre les deux plaques ?
Aide simple
\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \vec E . \mathrm d \vec M}\)
Aide détaillée
Pour calculer la circulation de \(\vec E\) entre \(A\) et \(B\) il faut choisir le contour le plus simple pour aller d'une plaque à l'autre.
Rappel de cours
Voir la page Définition
Solution simple
\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \frac{\sigma}{\epsilon_0} \vec u_x ~. ~ \vec u_x \mathrm d x = - \int_e^0 \frac{\sigma}{\epsilon_0} \mathrm d x = \frac{\sigma e}{\epsilon_0}}\)
Solution détaillée
Le contour le plus simple pour aller d'une plaque à l'autre est la ligne droite, soit un déplacement suivant l'axe \(Ox\). Dans ce cas \(\mathrm d \vec M = \mathrm d x ~ \vec u_x\) et :
\(\displaystyle{V(A) - V(B) = - \int_B^A \frac{\sigma}{\epsilon_0} \vec u_x ~. ~ \vec u_x \mathrm d x = - \int_e^0 \frac{\sigma}{\epsilon_0} \mathrm d x = \frac{\sigma e}{\epsilon_0}}\)