Représentation de Fresnel des ondes lumineuses
Principe
Fondamental :
Soit une vibration de forme générale \(s = a \cos (\omega t + \Phi)\) où \(\Phi\) est un terme de phase global qui s'explicitera en fonction du type d'onde étudié.
Cette vibration est représentée par la composante suivant l'axe: \((O, \vec u)\) d'un vecteur \(O \vec P\) de norme a tournant autour de \(O\) à la vitesse angulaire \(\omega\)
à l'instant \(t = 0\) il fait un angle \(+ \Phi\) avec l'axe de vecteur unitaire \(\vec u\)
Les angles sont orientés dans le sens trigonométrique direct. L'extrémité \(P\) du vecteur décrit donc, à la vitesse angulaire \(\omega\), un cercle de centre \(O\) et de rayon a. Le vecteur \(O \vec P\) est représenté à l'instant \(t = 0\). Soit une vibration lumineuse représentée en \(M\) de côte \(z\) par:
\(s = a \cos(\omega(t-\frac{z}{v})+ \Phi_0)\)
\(= a \cos (\omega t - \Delta \Phi + \Phi_0) = a \cos (\omega t + \Phi)\)
on lui associe le vecteur \(O \vec P\) faisant, à l'instant \(t = 0\), l'angle \(\Phi = (- \Delta \Phi + \Phi_0)\) avec \((0,\vec u)\)
Au fur et à mesure que l'onde se propage dans le sens \(Oz\) , la différence de phase évolue suivant \(\Delta \Phi = \omega \frac{z}{v}\) et le vecteur \(O \vec P\) tourne sur le cercle de rayon \(a\). Deux points \(M\) et \(M'\) vibreront en phase lorsque \(O \vec P\) et \(O \vec Q\) associés dans la représentation de Fresnel feront avec l'axe \((O,\vec u)\) le même angle.
Complément :
La représentation d'une onde lumineuse par le vecteur de Fresnel et la différence de marche sont visualisées dans les animations suivantes :
Vecteur de Fresnel :
Propagation d'une vibration :
Addition de deux vibrations de même fréquence
Pour additionner deux vibrations de même fréquence en un point \(M\) de l'espace, on associera à chacune des vibrations:
un vecteur \(\overrightarrow{OP}\) représentant la vibration \(s_1 = a_1 \cos(\omega t + \Phi_1)\) d'une part et
un vecteur \(\overrightarrow{OQ}\) représentant la vibration \(s_2 = a_2 \cos(\omega t + \Phi_2)\)
La somme vectorielle \(\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}\) aura une composante \(s\) suivant l'axe \((O, \vec u)\) telle que: \(s = s_1 + s_2 = A \cos (\omega t + \Phi)\)
On détermine ainsi la vibration résultante à partir d'une représentation vectorielle qui permet de déterminer l'amplitude A et la phase \(\Phi\) sans faire de calcul. Dans le cas des interférences lumineuses, on considèrera, afin de simplifier le calcul, qu'au point M arrivent deux vibrations de même fréquence et de même amplitude.
L'addition de deux vibrations: \(s_1 = a_1 \cos(\omega t + \Phi_1)\) et \(s_2 = a_2 \cos(\omega t + \Phi_2)\) donne :
Explication : par le calcul :
\(\begin{array}{rcl} s=s_1+s_2 &=& a~\displaystyle{2\cos \left(\frac{\omega t + \Phi_1 - (\omega t + \Phi_2)}{2}\right) \cos \left(\frac{\omega t + \Phi_1 - (\omega t + \Phi_2)}{2}\right)} \\\\ &=& 2a~\displaystyle{\cos \left(\frac{\Phi_1 - \Phi_2}{2}\right) \cos \left(\omega t + \frac{\Phi_1 + \Phi_2}{2}\right)} \\\\ &=& A \cos (\omega t + \Phi)\end{array}\)
avec \(A=2a \cos \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{2}\) et\( \Phi = \frac{\Phi_1 + \Phi_2}{2}\)
Explication : Par la représentation de Fresnel :
Le quadrilatère \(0 P S Q\) étant un losange on a donc: \(A = 2 a \cos \frac{\Phi_1 - \Phi_2}{2}\)
\(\Phi = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{2} + \Phi_1 = \frac{\Phi_2+\Phi_1}{2}\)
On a vu que l'intensité lumineuse est proportionnelle au carré de l'amplitude soit pour la vibration \(s_1\) et la vibration \(s_2\) de même amplitude:
\(I_1 = I_2 = a^2 = I_0\)
La vibration résultante \(s = s_1 + s_2\), d'amplitude \(A\), aura pour intensité:
\(\begin{array}{r c l} I&=&\left(2 a \cos \displaystyle{\left(\frac{\Phi_1 - \Phi_2}{2}\right)}\right)^2 \\\\ &=& \displaystyle{4 I_0 \cos^2 \left(\frac{\Phi_1 - \Phi_2}{2}\right)} \\\\&=& 2 I_0 (1 + \cos (\Phi_1 - \Phi_2))\end{array}\)
où \(\Delta \Phi = \Phi_1 -\Phi_2\) représente le déphasage entre les vibrations \(s1\) et \(s2\) arrivant en \(M\).
Représentons l'intensité lumineuse en fonction de \(\Delta \Phi\). L'intensité maximale est: \(I_\textrm{max} = 4 I_0\) et les interférences sont constructives.
L'intensité minimale est \(I_\textrm{min} = 0\) et les interférences sont alors destructives.
On peut remarquer que la valeur moyenne de \(I\) est égale à la somme des intensités des deux vibrations: \(I _\textrm{moyen} = I_{s_1} + I_{s_2}\).
Si \(I_{s_1} = I_{s_2} = I_0\) alors \(I_{\mathrm{moyen}} = 2I_0 (1 + \cos (\Phi_1 - \Phi_2))\)
or \(\cos(\Phi_1 - \Phi_2)_{\mathrm{moyen}} = 0\) puisque \(\Delta \Phi = \Phi_1 - \Phi_2\) varie de manière aléatoire au cours du temps et donc:
\(I _{moyen}= 2I_0\) , c'est à dire l'intensité de deux fois l'une des vibrations.
Complément :
L'addition de deux vibrations lumineuses de même amplitude est visualisée dans l'animation suivante :