Interférence de deux sources ponctuelles synchrones
Considérons deux sources ponctuelles \(S_1\) et \(S_2\) en phase à l'origine \(\Phi_0 = 0\) pour \(S_1\) et \(S_2\), émettent des ondes de même fréquence ( sources synchrones[1]).
Soit \(M\) un point de l'espace situé à une distance \(d_1\) de \(S_1\) et \(d_2\) de \(S_2\) et considérons la vibration arrivant en \(M\).
\(s_1 (M) =a \cos \omega (t - \frac{d_1}{v}) = a \cos(\omega t + \Phi_1)\)
\(s_2 (M) =a \cos \omega (t - \frac{d_2}{v}) = a \cos(\omega t + \Phi_2)\)
La vibration résultante en \(M\) s'écrit:
\(s_M = 2 a \cos \frac{d_1 - d_2}{2} \cos (\omega t + \frac{\Phi_1 + \Phi_2}{2})\)
L'intensité au point \(M\) s 'écrit:
\(\begin{array}{r c l}I&=& 2 I_0 [1 + \cos (\Phi_1 - \Phi_2)]\\\\&=& 2 I_0 [1 + \displaystyle{\cos 2 \pi \frac{(d_2 - d_1)}{\lambda}n}]\end{array}\)
où \(\lambda \)est la longueur d'onde dans le vide. En notant : \(\delta = (d_2 - d_1) n\) la différence des trajets optiques entre \( (S_2M) \) et \((S_1M)\) la relation précédente devient:
\(\displaystyle{I = 2 I_0(1 + \cos \frac{2 \pi \delta}{\lambda})}\)
L'ensemble des points de l'espace caractérisés par une même valeur de l'intensité lumineuse sont des surfaces définies par : \(d_2 - d_1 = \mathrm{cste}\). Ce sont des hyperboloïdes de foyers \(S_1\) et \(S_2\).
Observons le phénomène dans un plan \((O'x,O'y)\) perpendiculaire à la direction de propagation \(Oz\). Soient \(O\) le milieu de \(S_1 S_2\) et \((Ox,Oy)\) le plan contenant les sources, parallèle au plan d'observation.
Calculons \(d_2 - d_1\) dans les hypothèses suivantes :
\(d_1 >> S_1S_2\) et \(d_1 >> O'M\)
\(d_2 >> S_1S_2\) et \(d_2 >> O'M\)
(ces hypothèses seront justifiées dans le chapitre concernant l'étude des conditions d'interférences des ondes lumineuses).
\(D = O'O \cong d_1 \cong d_2\)
\(S_1S_2 = 2x_0\)
\(d_2^2 - d_1^2 = (d_2 - d_1)(d_2 + d_1)\)
Soient :
\(M\) de coordonnées \(x ', y ' ,D\) , \(S_1\) de coordonnées \(x_0 , 0 , 0\) ,\(S_2\) de coordonnées \(-x_0 , 0 , 0\)
\(d_1^2 = (x' - x_0)^2 + y'^2 + D^2\)
\(d_2^2 = (x' + x_0)^2 + y'^2 + D^2\)
\(d_2^2 - d_1^2 = (x' + x_0)^2 - (x' - x_0)^2\)
\(= 4 x_0 . x'\)
or
\(d_2^2 - d_1^2 \cong (d_2 - d_1) . 2 D\)
d'où
\(d_2 - d_1 = 2 \frac{(2 x_0)}{2D} x' = \frac{S_1S_2 . x'}{D}\)
Définition :
La figure d'interférence est l'intersection du plan d'observation défini préalablement et des hyperboloïdes de foyers \(S_1\) et \(S_2\). On observe donc, à grande distance de \(S_1\) et \(S_2\), des hyperboles ayant \(O'\) pour centre de symétrie. Si l'on se contente d'observer ces hyperboles au voisinage de \(O'\), celles-ci peuvent être confondues avec des segments de droite parallèles entre eux appelés : franges d'interférences.
Les points de l'axe \(O'y\) étant à égales distances de \(S_1\) et \(S_2\), l'hyperbole passant par \(O'\) se confond avec l'axe \((O'y')\). La différence de marche est nulle : c'est la frange centrale brillante.
L'interfrange est la distance, dans le plan d'observation, séparant deux franges consécutives de même intensité.
Explication : Calcul de l'interfrange i :
L'intensité est maximale pour \(\cos (\Phi_2 - \Phi_1) = + 1\) soit \(I = 4 I_0\) d'où
\(\Phi_1 - \Phi_2 = 2 k \pi = 2 \pi \frac{\delta}{\lambda}\)soit \(\delta = k \lambda\)
par ailleurs \(\delta = S_1S_2 \frac{x'}{D} \textrm{ d'o\`u } \Delta k = 1 \Rightarrow \Delta x' = i = \Delta k . \lambda \frac{D}{S_1S_2}\)
soit \(i = \frac{\lambda D}{S_1S_2}\)
l'intensité minimale est obtenue pour \(\cos (\Phi_2 - \Phi_1) = -1\) soit :
\(\Phi_1 - \Phi_2 = (2 k + 1)\pi \)et \(\delta = (2 k + 1)\frac{\lambda}{2}\)
L'interfrange est le même pour les franges brillantes et les franges sombres.
L'interfrange est de manière plus générale la plus petite variation de \(x'\) permettant de retrouver la même intensité lumineuse dans le plan d'observation.
Complément :
Les interférences obtenues à partir de deux sources ponctuelles sont visualisées dans l'animation suivante: