Changements d'espace-temps
Partie
Question
Vecteur rotation instantanée (*)
Symétrie relative des rotations : Montrer que si \(\displaystyle{\overrightarrow\omega_1}\) est le vecteur rotation instantanée d'un référentiel \(R_2\) par rapport à un référentiel \(R_1\) alors la rotation de \(R_1\) par rapport à \(R_2\) est donnée par \(\displaystyle{\overrightarrow\omega_2=-\overrightarrow\omega_1}\) .
Aide simple
Utiliser la définition du vecteur rotation
Réfléchir à ce que font deux rotations en sens inverse l'une de l'autre
Solution détaillée
On a, pour tout \(\overrightarrow A\):
- dans \(R_1\) :
\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm dt}]_{R_1}=[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_2}+\overrightarrow\omega_1\wedge\overrightarrow A}\)
- dans \(R_2\) :
\(\displaystyle{[\frac{\textrm{d}\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_2}=[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_1}+\overrightarrow\omega_2\wedge\overrightarrow A}\)
Par rapport à un référentiel R quelconque, les deux mouvements se compensent et
\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_1}+[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_2}=\overrightarrow0}\)
La somme de ces 2 égalités donne : \(\displaystyle{\overrightarrow0=\overrightarrow\omega_1\wedge\overrightarrow A+\overrightarrow\omega_2\wedge\overrightarrow A=(\overrightarrow\omega_1+\overrightarrow\omega_2)\wedge\overrightarrow A}\)
d'où : puisque le produit vectoriel est nul pour tout .
d'où : \(\displaystyle{\overrightarrow\omega_2=-\overrightarrow\omega_2}\)
puisque le produit vectoriel est nul pour tout \(\overrightarrow A\).