Changements d'espace-temps

Partie

Question

Grandeurs cinématiques par rapport à deux référentiels (*)

Soient deux référentiels \(R(O,x,y,z)\) de base et \(R1(0,x_1,y_1,z)\) de base \(\overrightarrow i_1,\overrightarrow j_1,\overrightarrow k_1\) de même origine \(O\) et d'axe \(O_z\) confondu. \(R_1\) tourne par rapport à \(R\) avec un vecteur vitesse instantanée de rotation \(\displaystyle{\overrightarrow\omega=\omega\overrightarrow k(\omega=\textrm{cte})}\) .

  1. On considère dans\( R\) le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow A=2t\overrightarrow i+t^2\overrightarrow j}\) .

    Calculer les dérivées par rapport au temps de\( \overrightarrow A\) dans \(R\) et \(R_1\) exprimées sur la base (\(\displaystyle{\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k}\)).

  2. Exprimer le vecteur \(\overrightarrow A\) sur la base \(\displaystyle{\overrightarrow i_1,\overrightarrow j_1,\overrightarrow k_1}\) ; en déduire la dérivée de dans \(R_1\) sur cette base; transformer cette expression sur la base (\(\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k\)). Comparer avec l'expression de la question 1.

Aide simple

Utiliser la loi de transformation des vitesses.

Comparer les repères de l'énoncé aux repères cartésien et polaire.

Solution détaillée

1) \(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow{A}&=&2t\overrightarrow{i}+t^{2}\overrightarrow{j}\\\left[\frac{\textrm{d}\overrightarrow{A}}{\textrm{dt}}\right]_{R}&=&2 \overrightarrow{i}+2t\overrightarrow{j}\end{array}}\)

\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]/{R_1}=[\frac{\textrm{d}\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]/R-\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow A=2\overrightarrow i+2t\overrightarrow j-\left\vert\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\0&0&\omega\\2t&t^2&0\end{array}\right\vert}\)

\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]/R_1=(2+\omega t^2)\overrightarrow i+2t(1-\omega)\overrightarrow j}\)

2) \(Ox\) tourne dans le plan (\(O,x,y\)) et est repéré par l'angle \(\phi = \omega t\). Les vecteurs de base \(\displaystyle{\overrightarrow i_1,\overrightarrow j_1}\), sont identiques à \(\overrightarrow u_\rho\) et \(\overrightarrow u\phi\) de la base polaire, donc :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i_1&=&\cos\phi\overrightarrow i+\sin\phi\overrightarrow j\\\overrightarrow j_1&=&-\sin\phi\overrightarrow i+\cos\phi\overrightarrow j\end{array}}\)

En résolvant ce système :

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i&=&\cos\phi\overrightarrow i_1-\sin\phi\overrightarrow j_1\\\overrightarrow j&=&\sin\phi\overrightarrow i_1+\cos\phi\overrightarrow j_1\end{array}}\)

Par suite dans \(R_1\), \(\overrightarrow A\) s'écrit

\(\displaystyle{\overrightarrow A=(2t\cos\phi+t^2\sin\phi)\overrightarrow i_1+(t^2\cos\phi-2t\sin\phi)\overrightarrow j_1}\)

En dérivant l'expression ci-dessus dans \(R_1\), il vient :

\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}}]_{R_1}=(2+\omega t^2)\overrightarrow i+2t(1-\omega)\overrightarrow j}\)

Le résultat est identique mais le calcul est plus fastidieux!