Changements d'espace-temps

Partie

Question

Vitesses et accélérations pour R' en rotation par rapport à R-(2) (*)

Soient deux référentiels,\( R (O,x,y,z)\) de base (\(\displaystyle{\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k}\))et \(R'(O',x', y',z')\) de base (\(\displaystyle{\overrightarrow{i'},\overrightarrow{j'},\overrightarrow{k'}}\)) en rotation l'un par rapport à l'autre, la vitesse de rotation de \(R'\) par rapport à \(R\) étant :

\(\displaystyle{\overrightarrow\omega=-2\overrightarrow i+3\overrightarrow j-5\overrightarrow k}\)

Un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow A=\sin t\overrightarrow i-\cos t\overrightarrow j+\textrm{e}^{-t}\overrightarrow k}\)

étant donné, calculer les dérivées temporelles de ce vecteur par rapport à \(R\) puis par rapport à\( R'\).

Aide simple

Utiliser la loi de composition des accélérations

Solution détaillée

On obtient directement

\(\displaystyle{(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_R=\cos t\overrightarrow i+\sin t\overrightarrow j-\textrm{e}^{-t}\overrightarrow k}\)

Pour l'expression dans \(R'\) on utilise la relation :

\(\displaystyle{(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_{R'}=(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_R-\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow A}\)

ce qui donne

\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow A&=&(3\textrm{e}^{-t}+5\cos t)\overrightarrow i+(2\textrm e^{-t}-5\sin t)\overrightarrow j+(2\cos t-3\sin t)\overrightarrow k\\(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_R'&=&(-4\cos t-3\textrm e^{-t})\overrightarrow i+(6\sin t-2\textrm e^{-t})\overrightarrow j+(3\sin t-2\cos t-\textrm e^{-t})\overrightarrow k\end{array}}\)

Pour la dérivée seconde par rapport à \(R\):

\(\displaystyle{(\frac{\textrm d^2\overrightarrow A}{\textrm{dt}^2})_R=-\sin t\overrightarrow i+\cos t\overrightarrow j+\textrm e^{-t}\overrightarrow k}\)

et nous avons la relation :

  • \(\displaystyle{(\frac{\textrm d^2\overrightarrow A}{\textrm{dt}^2})_R=(\frac{\textrm d^2\overrightarrow A}{\textrm{dt}^2})_R'+\overrightarrow\omega\wedge(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_R'+\frac{\textrm d\overrightarrow\omega}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow A+\overrightarrow\omega\wedge(\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow A)}\)

  • le terme\(\displaystyle{\frac{\textrm d\overrightarrow\omega}{\textrm{dt}}\wedge\overrightarrow A}\) est nul puisque le vecteur rotation ne dépend pas de \(t\)

  • \(\displaystyle{(\frac{\textrm d\overrightarrow A}{\textrm{dt}})_R\textrm{ et }\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow A}\) sont connus,

on en déduit péniblement (!) les autres quantités.