Vitesses et accélérations pour R' en rotation par rapport à R-(1)
Partie
Question
Vitesses et accélérations pour R' en rotation par rapport à R-(1) (*)
Dans un référentiel \(R\) deux mobiles \(M_1\) et \(M_2\) sont repérés par leurs rayons vecteurs :
\(\begin{array}{rcl}\overrightarrow r_1&=&2t\overrightarrow i-t^2\overrightarrow j+3t^2\overrightarrow k\\\overrightarrow r_2&=&5t^2\overrightarrow i+t^3\overrightarrow j-3t\overrightarrow k\end{array}\)
Quelles sont les vitesses \(\overrightarrow v_1\) et \(\overrightarrow v_2\) et les accélérations \(\overrightarrow\gamma_1\) et \(\overrightarrow\gamma_2\) de \(M_1\) et \(M_2\) dans \(R\) ?
On lie à \(M1\) un référentiel \(R_1, M_1\) étant confondu avec l'origine \(O_1\) de \(R_1\), les axes de \(R_1\), restant respectivement parallèles à ceux de \(R\).
Aide simple
Utiliser la loi de composition des vitesses
Utiliser la loi de composition des accélérations
Solution détaillée
1) \(\begin{array}{rcl}\overrightarrow r_1&=&2t\overrightarrow i-t^2\overrightarrow j+3t^2\overrightarrow k\\\overrightarrow r_2&=&5t^2\overrightarrow i+t^3\overrightarrow j-3t\overrightarrow k\end{array}\)
Vitesse dans\( R\) :
\(\begin{array}{rcl}\overrightarrow v_1&=&2\overrightarrow i-2t\overrightarrow j+6t\overrightarrow k\\\overrightarrow v_2&=&10t\overrightarrow i+3t^2\overrightarrow j-3\overrightarrow k\end{array}\)
Accélération dans \(R\) :
\(\begin{array}{rcl}\overrightarrow\gamma_1&=&-2\overrightarrow j+6\overrightarrow k\\\overrightarrow\gamma_2&=&10\overrightarrow i+6t\overrightarrow j\end{array}\)
2) Règle de composition des vitesses :
\(\displaystyle{\overrightarrow v_2=\overrightarrow v_2'+v\overrightarrow{(O_1)}+\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow{O_1M_2}}\)
Ici : \(\displaystyle{\overrightarrow{v(O_1)}=\overrightarrow v_1\textrm{ et }\overrightarrow\omega=0}\)
Par suite : \(\displaystyle{\overrightarrow{v'_2}=(10t-2)\overrightarrow i+(3t^2+2t)\overrightarrow j-(6t+3)\overrightarrow k}\)
Dans la composition des accélérations, seuls restent les termes :
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_1=\overrightarrow{\gamma'_2}+\overrightarrow\gamma_1}\)
Soit :
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_2=10\overrightarrow i+(6t-2)\overrightarrow j-6\overrightarrow k}\)
La vitesse d'entrainement est, à un instant donné constante en tout point du repère \(R_1\) et égale à la vitesse \(\overrightarrow v_1\).
3) On utilise les mêmes relations mais dans ce cas \(\displaystyle{\overrightarrow\omega=\omega\overrightarrow k}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{v"}_2=[(t+t^2)\omega-10t-2]\overrightarrow i+[(5t^2-2t)\omega+3t^2-2t]\overrightarrow j-3(2t+1)\overrightarrow k}\)
Pour l'accélération il faut tenir compte des termes en \(\displaystyle{\overrightarrow\omega=\overrightarrow{\textrm{Cste}}}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma"_2}=\overrightarrow{\gamma_2}-\overrightarrow{\gamma_1}-2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow{v"_2}-\overrightarrow\omega\wedge(\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow{O_1M_2})}\)
Pour alléger, le résultat est donné à l'instant \(t = 1\):
\(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma"_2}=(6\omega^2+\omega+10)\overrightarrow i-(8\omega+8)\overrightarrow j-6\overrightarrow k}\)