Changements d'espace-temps
Partie
Question
Accélération de Coriolis (*)
On lance un projectile depuis le point \(M\) dans l'hémisphère Nord :
a) depuis le haut d'une tour
b) vers le haut
c) le long d'un parallèle passant par ce point et allant vers l'Ouest
d) à l'Equateur, depuis le haut d'une tour Porter dans chaque cas de figure, le vecteur rotation, le vecteur vitesse, le vecteur accélération de Coriolis.
Aide simple
Utiliser les produits vectoriels entre vecteurs de bases cylindrique et sphérique
Solution détaillée
On considère un référentiel \(G\) attaché au centre de la Terre et dont les axes sont orientés vers des étoiles fixes. Le référentiel \(R\) attaché à \(O\), à la surface de la Terre est animé d'un mouvement de rotation dont le vecteur rotation instantanée s'écrit \(\overrightarrow\omega=\omega\overrightarrow k\) dans les deux référentiels.
L'accélération de Coriolis a pour expression \(\displaystyle\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v_r\)
où \(\overrightarrow v_r\) est la vitesse du point matériel par rapport à \(R\).
On exprime alors successivement \(\overrightarrow v_r\textrm{ puis }\overrightarrow\gamma_c\) dans les repères les plus adéquats.
a)
\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v_r=2\omega\overrightarrow k\wedge-v\overrightarrow u_r=-2\omega v\overrightarrow k\wedge\overrightarrow u_r=-2\omega v\overrightarrow u_\Phi}\)
L'accélération de Coriolis est dirigée vers l'Ouest.
b) \(\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v_r=2\omega\overrightarrow k\wedge v\overrightarrow u_r=2\omega v\overrightarrow k\wedge\overrightarrow u_r=2\omega v\overrightarrow u_\Phi\)
L'accélération de Coriolis est dirigée vers l'Est.
c)\( \displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v_r=2\omega\overrightarrow k\wedge-v\overrightarrow u_\Phi=-2\omega v\overrightarrow k\wedge\overrightarrow u_\Phi=2\omega v\overrightarrow u_\rho}\)
L'accélération de Coriolis est dirigée le long de l'axe polaire Gu.
d) \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=2\overrightarrow\omega\wedge\overrightarrow v_r=2\omega\overrightarrow k\wedge-v\overrightarrow u_\rho=-2\omega v\overrightarrow k\wedge\overrightarrow u_\rho=-2\omega v\overrightarrow u_\Phi}\)
L'accélération de Coriolis est parallèle à l'Equateur, dirigée vers l'Ouest.