Changements d'espace-temps
Partie
Question
Dérivées de vecteurs par rapport au temps (*)
En reprenant les référentiels \(R\) et \(R'\) de l'exercice précédent, calculer la dérivée dans \(R\) et dans \(R_1\) du vecteur:
\(\displaystyle{\overrightarrow B=\cos t\overrightarrow i+\sin t\overrightarrow j}\)
Montrer que ces deux vecteurs dérivés dans \(R\) et dans \(R_1\) sont colinéaires.
Pourquoi ?
Aide simple
Utiliser la loi de transformation des vitesses.
Utiliser la condition de linéarité de deux vecteurs
Solution détaillée
\(\displaystyle{\begin{array}{cccccc}\overrightarrow B&=&\cos t\overrightarrow i+\sin t\overrightarrow j\\ \left[\frac{\textrm d\overrightarrow B}{\textrm{dt}}\right]_R&=&-\sin t\overrightarrow i+\cos t\overrightarrow j\end{array}}\)
\(\displaystyle{[\frac{\textrm{d}\overrightarrow B}{\textrm{dt}}]/R_1=-\sin t\overrightarrow i+\cos t\overrightarrow j-\left\vert\begin{array}{cccccc}\overrightarrow i&\overrightarrow j&\overrightarrow k\\0&0&\omega\\\cos\omega t&\sin\omega t&0\end{array}\right\vert}\)
\(\displaystyle{[\frac{\textrm d\overrightarrow B}{\textrm{dt}}]/R_1=-(1-\omega)\sin t\overrightarrow i+(1-\omega)\cos t\overrightarrow j=(1-\omega)[\frac{\textrm d\overrightarrow B}{\textrm{dt}}]/R}\)
Les dérivées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow B}\) dans \(R\) et \(R_1\) sont colinéaires. Cela est dû au fait que \(\overrightarrow B\) est de norme constante et que sa dérivée par rapport au temps est un vecteur perpendiculaire à \(\overrightarrow B\) qu'on la calcule dans \(R\) ou dans\( R_1\).