Mouvements plans composés

Partie

Question

Mouvements plans composés (**)

On considère la position d'un point \(M\) définie par rapport à un référentiel \(G\) pointé en \(O\) par :

\(\rho = a\theta,\theta=\omega t\textrm{ avec }a = \frac{2}{\pi}\textrm{ cm.rad }^{-1}\textrm{ et }\omega=\frac{\pi}{4}\textrm{ rad.cm-1}\)

Ce point \(M\), attaché à une bille, se déplace uniformément à l'intérieur d'une tige creuse qui tourne dans le sens direct pour \(G\), avec la vitesse angulaire \(\omega\) . On se propose d'étudier le mouvement du point \(M\) par rapport à un autre référentiel \(R\) pour lequel le point \(M\) a un mouvement plus simple que par rapport à \(G\).

  1.  Choisir \(R\) et justifier ce choix. Préciser son origine \(O_1\), sa base et leurs mouvements (de l'origine et de la base) par rapport à \(G\).

  2.  Exprimer vectoriellement, par rapport à \(R\) : la vitesse de la tige, la vitesse du référentiel \(G\), la vitesse du point \(M\). En déduire la vitesse de \(M\) par rapport à \(G\).

    Définir et représenter sur une figure, pour un observateur lié à \(G\):

    • la distance parcourue de\( t=0\) à temps \(t = 4\textrm{ s}\)  par le point \(M\)

    •  la portion de trajectoire du point \(M*\) de la tige, coïncidant avec \(M\) au temps \(t = 4s\)

    • A partir de la loi de composition des accélérations, en déduire l'accélération du point \(M\) par rapport à \(G\). Représenter graphiquement à l'instant \(t = 4\textrm{ s }\) les diverses accélérations.

Aide simple

Supposer l'existence d'un observateur attaché à chaque référentiel

Appliquer les lois de transformation des vitesses et accélérations dans le cas d'un référentiel en rotation uniforme par rapport à un autre.

Solution détaillée

1) Le référentiel \(R\) par rapport auquel le mouvement de \(M\) est plus simple est, par rapport à \(G\), en rotation uniforme autour de \(O_z\) avec la vitesse angulaire \(\omega\). Les origines des deux référentiels sont confondues. Le mouvement de \(M\) dans ce référentiel est alors rectiligne uniforme.

On peut choisir comme base de \(G\), la base cartésienne (\(\displaystyle{\overrightarrow i,\overrightarrow j,\overrightarrow k}\))mais on peut également choisir dans les deux référentiels la même base cylindrique.

2) La vitesse de \(M\) pour \(R\) est égale à

\(\displaystyle{\overrightarrow v[R](M)=(\frac{\textrm d\overrightarrow{OM}}{\textrm{dt}})/[R]=\dot\rho\overrightarrow u_\rho}\)

Pour un observateur lié au référentiel \(R, G\) tourne avec une vitesse angulaire de rotation telle que :

\(\displaystyle{\overrightarrow v_{G/R}=-\omega\overrightarrow k\wedge\overrightarrow{OM}}\)

La vitesse de\( M\) par rapport au référentiel \(G\) est alors la somme de la vitesse de \(M\) par rapport à \(R\) (la tige) et de la vitesse de la tige (\(R\)) par rapport à \(G\); cette dernière est l'opposée de la vitesse de \(G\) par rapport à \(R\) exprimée précédemment :

\(\displaystyle{\overrightarrow{V_G(M)}=(\frac{\textrm d\overrightarrow{OM}}{\textrm{dt}})/[R]-\overrightarrow{V_G/R}=\dot\rho\overrightarrow u_\rho-(-\omega\overrightarrow k\wedge\rho\overrightarrow u_\rho=\dot\rho\overrightarrow u_\rho+\omega\rho\overrightarrow u_\theta)}\)

Avec les données,

\(\displaystyle{\overrightarrow{V_G(M)}=a\omega\overrightarrow u_\rho+a\omega^2t\overrightarrow u_\theta}\)

Nous retrouvons bien la règle de composition des vitesses lorsque les origines \(O\) et \(O1\) des référentiels restent confondues :

\(\displaystyle{\overrightarrow{V_M}=\overrightarrow V_1(M)+\overrightarrow\omega_\textrm{e}\wedge\overrightarrow{O_1M}}\)

Entre l'instant initial et un instant t donné, la trajectoire de M par rapport au référentiel \(R\) est la portion de droite qui porte le vecteur de base \(\displaystyle{\overrightarrow u_\rho}\).

Par rapport au référentiel \(G\), la portion de trajectoire d'entrainement à l'instant\( t\) est une portion de cercle passant par \(M*\), point de la tige coïncidant avec \(M\) à cet instant.

La trajectoire par rapport au référentiel \(G\) est une portion de spirale.

Au temps \(t = 4\) secondes : \(q = p\) rad et\( \displaystyle{\rho=\frac{a\pi}{2}}\)

3°) Par rapport à \(R\), l'accélération du point \(M\) s'écrit :

\(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma}/[R](M)=(\frac{\textrm{d}\overrightarrow v}{\textrm{dt}})/[R]=\ddot\rho\overrightarrow u_\rho}\)

Dans ce cas, \(\overrightarrow{\gamma}/[R](M)=0\)

La vitesse relative non nulle et le fait que \(R\) soit en rotation, entrainent l'existence de l'accélération de Coriolis . \(\displaystyle{\overrightarrow{\gamma_c}=2\overrightarrow\omega_\textrm e\wedge\overrightarrow v_1(M)}\) Ici,

\(\displaystyle{\overrightarrow\omega_\textrm e=-\omega\overrightarrow k\textrm{ et }\overrightarrow v_1(M)=\dot\rho\overrightarrow u_\rho\textrm{ et }\overrightarrow\gamma_c=-2\omega_c\dot\rho\overrightarrow u_\theta=-2\omega^2a\overrightarrow u_\theta}\)

On a donc \(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_c=-2\omega\dot\rho\overrightarrow u_\theta=-2\omega^2a\overrightarrow u_\theta}\)

Pour l'accélération d'entrainement, le vecteur rotation étant de norme constante et les origines étant confondues, l'expression générale se simplifie et il ne reste qu'à calculer le double produit vectoriel \(\displaystyle{\overrightarrow\omega_e\wedge(\overrightarrow\omega_e\wedge\overrightarrow{O_1M})}\) .

L'expression de l'accélération par rapport au référentiel \(G\) est alors :

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_G(M)=\overrightarrow\gamma_R(M)+\overrightarrow\omega_\textrm e\wedge(\overrightarrow\omega_\textrm e\wedge\overrightarrow{O_1M})+2\overrightarrow\omega_\textrm e\wedge\overrightarrow v_1(M)}\)

Soit dans la base cylindrique, nous retrouvons l'expression bien connue :

\(\displaystyle{\overrightarrow\gamma_G(M)=(\ddot\rho-\rho\omega^2)\overrightarrow u_\rho+2\dot\rho\omega\overrightarrow u_\theta(M)}\)