Efforts exercés sur un système matériel

Partie

Question

Pendule simple (*)

Un pendule simple est constitué d'une boule sphérique de rayon \(r\), de masse \(m\), suspendue par un fil de masse négligeable, de longueur \(l\); l'autre extrémité du fil est accrochée à un point fixe \(O\). On prendra l supérieur ou égal à r de telle sorte que la boule pourra être assimilée à un point matériel. Le système est dans le champ de pesanteur terrestre, on néglige tout frottement.

On étudie le mouvement dans un plan vertical Oxy.

1- Faire le bilan des forces appliquées à la boule.

2- On utilise un repérage cartésien \(M(x,y)\). Etablir l'équation du mouvement à l'aide du principe fondamental de la dynamique.

Aide simple

Choisir astucieusement la position du repère cartésien

Solution détaillée

  1. La masse m est soumise :

    • au poids \(\displaystyle{\overrightarrow P=mg\overrightarrow i}\)

    • à la tension du fil \(\displaystyle{\overrightarrow T=-\frac{T}{l}\overrightarrow{OM}=-\frac{T}{l}(x\overrightarrow i+y\overrightarrow j)}\)

  2. La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

    \(\displaystyle{m(x"\overrightarrow i+y"\overrightarrow j)=mg\overrightarrow i-\frac{T}{l}(x\overrightarrow i+y\overrightarrow j)}\)

soit :

\(\displaystyle{mx"=mg-\frac{T}{l}x\textrm{ et }my"=-\frac{T}{l}y}\)