Tir d'un projectile
Partie
Question
Tir d'un projectile (*)
Un projectile ponctuel est lancé d'un point\( O\) à l'instant \(t = 0\). On choisit un référentiel de base \((\overrightarrow i,\overrightarrow j)\) , d'origine \(O\), l'axe Ox étant horizontal et Oy vertical. La vitesse initiale \(\overrightarrow{v_o}\) du mobile fait un angle \(\alpha\) avec l'horizontale.
Etablir l'équation de la trajectoire.
Déterminer les coordonnées du sommet \(S\) de la trajectoire. On appelle \(B\) le point où le projectile touche le sol. Calculer la portée \(OB\) du tir. Déterminer les dates \(t_S\) et\( t_B\) où sont atteints respectivement les points \(S\) et \(B\). Calculer les normes des vitesses \(v_S\) et \(v_B\).
Rechercher l'ensemble des points que l'on peut atteindre avec un projectile lancé de \(O\) avec une vitesse \(\overrightarrow{v_o}\) donnée, de norme constante et dont la direction varie \((0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2})\) .
On donne : \(\alpha = 45°, v_0 = 300 \textrm{ m.s}^{-1} , m = 20 \textrm{ kg}, g = 9,81 \textrm{ m.s}^{-2}\) .
On appelle \(g\) l'accélération de la pesanteur et le repère (\(O, x, y\)) est supposé galiléen.
Aide simple
Intégrer par rapport au temps sans oublier les conditions initiales.
Analyser la trajectoire en fonction des paramètres de tir.
Solution détaillée
On suppose le repère ( \(O, x, y\) ) galiléen, l'axe Oy est vertical vers le haut, les conditions initiales étant :
- mobile \(M\) à l'origine \(O\) du repère,
- vitesse \(\overrightarrow{v_0}\)
Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :
\(\displaystyle{m\overrightarrow\gamma=m\overrightarrow g}\)
Sur la base cartésienne :
\(\begin{array}{rcl}x''&=&0\\y''&=&0\end{array}\)
On intègre deux fois compte tenu des conditions initiales :
\(\displaystyle{x'=\textrm{cte}=v_0\cos\alpha}\)
\(\displaystyle{y'=-gt+\textrm{cte}=-gt+v_0\sin\alpha}\)
\(\displaystyle{x=v_0\cos\alpha t}\)
\(\displaystyle{y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\alpha t}\)
L'équation de la trajectoire s'obtient en éliminant \(t\) :
\(t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}\textrm{ et }y=-\frac{1}{2}\frac{g}{v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\textrm{ tg }\alpha\)
C'est l'équation d'une parabole.
AN. \(y = 1,09.10^{-4}x^2 + x \textrm{ tg }\alpha\)
Sommet \(S\) de la trajectoire : on peut l'obtenir soit en recherchant le point de la trajectoire où la tangente est horizontale, soit en déterminant dans l'expression de la vitesse, l'instant où la composante verticale de la vitesse s'annule. Nous utilisons la première solution :
\(\begin{array}{rcl}\frac{\textrm{d}y}{\textrm{dx}}&=&-\frac{g}{v_0^2\cos\alpha}x_s+\textrm{ tg }\alpha=0 \\ x_s&=&\frac{v_o^2\cos\alpha\sin\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}\end{array}\)
\(\displaystyle{y_s=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}}\)
AN. \(x_s = 4587 \textrm{ m} ; y_s = 2294 \textrm{ m}\)
En reportant \(x_s\) dans l'équation paramétrique en \(x\), on obtient\( t_s\) :
\(\displaystyle{t_s=\frac{v_0\sin\alpha}{g}}\)
Portée du tir, coordonnées du point \(B\) : Il suffit dans l'équation de la trajectoire de faire \(y=0\).
\(\begin{array}{rcl}x_B&=&\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g}\\y_B&=&0\end{array}\)
En reportant \(x_B\) dans l'équation paramétrique en \(x\) :
\(\displaystyle{t_B=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}}\)
On remarque naturellement que \(t_B = 2t_s \textrm{ et }x_B = 2x_s\).
Vitesse en S :\( \displaystyle{\overrightarrow v=x'\overrightarrow i+y'\overrightarrow j}\) et
\(\displaystyle{v_s=v_0\cos\alpha\overrightarrow i+(-gt_s+v_0\sin\alpha)\overrightarrow j}\)
En norme : \(v_s = v_0 \cos \alpha\)
Vitesse en B : \(\displaystyle{\overrightarrow{v_B}=v_0\cos\alpha\overrightarrow i+(-gt_B+v_0\sin\alpha)\overrightarrow j}\)
En norme : \(v_B = v_0\)
On observe qu'en \(S\) la vitesse est horizontale et qu'en \(B\) elle a même norme qu'en \(O\).
Recherche de la parabole de sûreté :
La norme de la vitesse initiale est fixée, seule la direction du vecteur vitesse (a) varie. Pour que la trajectoire passe par un point \(M1( x_1, y_1)\) donné, il faut une valeur de \(\alpha\) telle que :
\(\begin{array}{lcl}-\frac{1}{2}\frac{gx_1^2}{2v_0^2}\frac{1}{\cos^2\alpha}+x_1\textrm{ tg }\alpha-y_1&=&0\\-\frac{gx_1^2}{2v_0^2}\textrm{ tg}^2\alpha+x_1\textrm{ tg }\alpha-y_1-\frac{gx_1^2}{2v_0^2}&=&0\end{array}\)
Les solutions de cette équation du second degré en \(\textrm{ tg }\alpha\) a seront réelles seulement si le discriminant est positif :
\(\displaystyle{x_1^2-\frac{2gx_1^2}{v_0}(y_1+\frac{gx_1^2}{2v_0^2})\ge 0}\)
\(\displaystyle{y_1\leq\frac{v_0^2}{2g}-\frac{gx_1^2}{2v_0^2}}\)
L'équation donnant \(x_1\) en fonction de \(y_1\) est l'équation d'une parabole appelée "parabole de sureté". Tout tir dont la norme de la vitesse initiale est \(v0\) restera à l'intérieur de cette parabole.