Ion dans un champ magnétique (Q2).

Durée : 8 mn

Note maximale : 8

Question

Un point matériel portant une charge \(q (> 0)\) est soumis à l'action d'un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\): la force qui agit sur lui est égale à \(q\vec{v}\wedge\vec{B}\).

On suppose qu'à l'instant \(t = 0\), le point matériel se trouve à l'origine \(O\) d'un repère \(Oxyz\), lié à un référentiel galiléen, tel que \(\vec{B}=B\vec{u_z}\) avec \(B<0\).

Sachant que sa vitesse initiale est `\(\vec{v}(0)=v\vec{u_x}\) où \(v>0\).

déterminez le mouvement de ce point matériel de masse \(m\) à partir de l'étude du vecteur vitesse qui était l'objet de la question précédente.

Solution

La vitesse initiale est telle que \(\theta=\frac{\pi}{2}\). Ainsi, dans l'espace des vitesse à trois dimensions, l'hodographe est un cercle de rayon \(v\), situé dans un plan perpendiculaire à l'axe \(Oz\) et centré au point \((0,0,0)\).

( 1point)

En posant \(\frac{d\vec{OM}}{dt}=\vec{v}\), on peut écrire l'équation du mouvement du vecteur vitesse \(\frac{dv}{dt}=\vec{\Omega}\wedge\vec{v}\), où \(\vec{\Omega}=\Omega\vec{u_z}\) avec \(\Omega=-q\frac{B}{m}>0\) sous la forme \(\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{\Omega}\wedge\frac{d\vec{OM}}{dt}\).

(1 point)

Le vecteur \(\vec{\Omega}\) étant constant, cette équation s'écrit aussi :

\(\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(\vec{\Omega}\wedge\vec{OM})}{dt}\)

(1 point)

Compte tenu des conditions initiales, \(\vec{v}(0)=v\vec{u_x}\), la solution de cette équation est :

\(\vec{v}(t)=\vec{\Omega}\wedge\vec{OM}+v\vec{u_x}\)

(1 point)

Soit alors un point \(C\) tel que \(v\vec{u_x}=\vec{\Omega}\wedge\vec{CO}\),

c'est à dire tel que \(\vec{OC}=-\frac{mv}{qB}\vec{u_y}\) avec \(-\frac{mv}{qB}>0\).

(1 point)

(1 point)

On peut écrire :

\(\vec{v}=\frac{d\vec{OM}}{dt}=\frac{d\vec{OC}+\vec{CM}}{dt}=\frac{d\vec{CM}}{dt}\)

(1 point)

puisque \(\vec{CO}\) est constant et finalement

\(\frac{d\vec{CM}}{dt}=\vec{\Omega}\wedge\vec{OM}+\vec{\Omega}\wedge\vec{CO}=\vec{\Omega}\wedge\vec{CM}\)

ce qui montre que \(M\) décrit le cercle de centre \(C\), de rayon \(OC\), avec la pulsation \(\Omega > 0\).

( 1 point)