Travail d'une force le long d'un trajet
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Un point matériel de masse m est soumis à l'action d'une force \(\vec{F}\).
Exprimez le travail \(W_C\) de \(\vec{F}\) le long d'un trajet \(C\) reliant deux points distincts \(A\) et \(B\) de l'espace.
\(W_C\) est-il nécessairement égal à \(W_D\) calculé le long d'un trajet différent \(D\) reliant les mêmes points \(A\) et \(B\) ?
Vérifiez votre réponse en calculant \(W_{(AIB)}\) et \(W_{(AJB)}\) dans le plan \(y = y_0\) pour \(\vec{F}=m\vec{g}\) où \(\vec{g}=g\vec{u}_z\quad(g<0)\) et \(\vec{F}=z^2\vec{u}_x+yx\vec{u}_z\)
Le trajet ne s'identifie à la trajectoire que s'il est parcouru sous l'effet de la seule force \(\vec{F}\) conformément à la Loi Fondamentale de la Dynamique.
Solution
Suivant la définition, le travail \(W_C\) de \(\vec{F}\) au cours d'un trajet donné \(C\) est égal à la circulation de \(\vec{F}\) le long de ce trajet :
\(\displaystyle{W_C=\int_C\vec{F}.\vec{dl}}\)
(1 point)
Il n'y a aucune raison " a priori " pour que \(W_C=W_D\) si \(C\neq D\).
(1 point)
Pour calculer \(W\), on remarque que \(dW\) est un produit scalaire :
\(dW=0\) si \(\vec{dl}\perp\vec{F}\)
(1 point)
1) \(W_{(AIB)} = mg IB\) et \(W_{(AJB)} = mg AJ\).
Ici \(W = W_{AB}\), indépendant du trajet puisque \(IB = AJ = z_B - z_A\).
On remarque que \(W_{AB} = mg (z_B - z_A)\) (\(<0\) comme \(g\)) est le même pour tout couple de points \(AB\) entre lesquels existe la même différence d'altitude.
(1 point)
2) \(W_{(AIB)} = {z_A}^2 AI + y_0x_B IB\) et \(W_{(AJB)} = y_0x_A AJ + {z_B}^2 JB\).
Cette fois, \(W_{(AJB)}\neq W_{(AIB)}\): \(W\) est dépendant du trajet.
(2 points)