Travail le long de la trajectoire
Durée : 6 mn
Note maximale : 6
Question
Un point matériel de masse \(m\) est soumis à l’action d’une force \(\vec{F}\).
Entre deux points \(A\) et \(B\) de la trajectoire, le travail \(W_{AB}\) de \(F\) s’exprime à l’aide d’une fonction scalaire \(U\) de \(M\) : \(W_{AB} = U(A) - U(B)\).
Calculez \(W_{AB}\) en fonction des vitesses \(v(A)\) et \(v(B)\) du point matériel aux points \(A\) et \(B\) par rapport au référentiel galiléen \((O:x,y,z)\).
Exprimez le résultat sous la forme de la conservation, le long de la trajectoire, d’une grandeur physique que vous définirez.
Solution
Suivant la définition, le travail \(W_C\) de \(\vec{F}\) au cours d'un trajet donné \(C\) est égal à la circulation de \(\vec{F}\) le long de ce trajet :
\(\displaystyle{ W_C=\int_C\vec{F}.\vec{dl}}\)
(1 point)
En tout point \(M\) de la trajectoire, l'Equation Fondamentale de la Dynamique s'écrit \(\displaystyle{\vec{F}=\frac{md\vec{v}}{dt}}\), par rapport aux axes \((O:x,y,z)\) liés à un référentiel galiléen.
(1 point)
On a donc, le long de la trajectoire et entre les points \(A\) et \(B\):
\(W_{AB}=m\int_A^B\frac{\vec{dv}}{dt}.\vec{v}dt=\int_A^Bm\vec{v}.\vec{dv}=\frac{m}{2}(v^2(B)-v^2(A))\)
(2 points)
Comme \(W_{AB}=U(A)-U(B)\), on peut écrire
\(\displaystyle{\frac{m}{2}v^2(B)+U(B)=\frac{m}{2}v^2(A)+U(A)}\)
ce qui fait apparaître l’existence d’une fonction scalaire \(E(M)\) uniforme appelée énergie mécanique :
\(\displaystyle{E(M)=\frac{m}{2}v^2(M)+U(M)}\)
dont la valeur numérique est la même en tout point de la trajectoire.
(2 points)