Looping
Durée : 9 mn
Note maximale : 9
Question
Un objet de masse \(m\), qu’on peut assimiler à un point matériel, se déplace sans frottement sur un rail ayant la forme d’une courbe tracée dans un plan vertical.
Le point matériel est abandonné sans vitesse initiale au point \(A\) de la courbe situé à une altitude \(z_A=h\) : il parcourt le tronçon horizontal \(BC\), à l’altitude \(z_B=z_C=0\), puis aborde un tronçon circulaire de rayon \(R\) sur lequel le point \(D\) est diamétralement opposé à \(C\).
En ayant à l’esprit que l’objet n’est pas lié au rail, mais simplement guidé sous l’effet conjugué des forces qui lui sont appliquées, faites le bilan de ces forces sur les tronçons \(AB\), \(BC\) et \(CD\).
Quelle doit être la hauteur \(h\) pour le point matériel parvienne au point \(D\) et puisse ainsi effectuer un tour en restant au contact du rail.
Solution
Le point matériel est soumis à son poids \(\vec{P}=-mg\vec{u_z}\) et à la réaction normale du rail \(\vec{N}\) en tout point de la courbe.
(1 point)
La réaction \(\vec{N}\) ne "travaille" pas.
(1 point)
Entre \(A\) et \(B\), le travail des forces est \(\displaystyle{W_p=mgh=\frac{m{v_B}^2}{2}}\). On a \({v_B}^2=2gh\)
(1 point)
Entre \(B\) et \(C\), \(\vec{P}\) ne travaille pas, donc \(v_C = v_B\).
(1 point)
Entre \(C\) et \(D\), le point matériel suit une trajectoire circulaire :
\(\displaystyle{\vec{P}+\vec{N}=mv^2\left(\frac{\vec{MI}}{R^2}\right)}\)
où \(v^2={v_B}^2-2gz_M=2g(h-z_M)\)
(2 points)
En projetant sur \(MI\), on obtient : \(\displaystyle{N=2mg\frac{(h-z_M)}{R}+mg\cos\theta}\) qui doit être positif lorsque le point matériel est au contact du cercle.
(2 points)
Au point \(D\), on doit donc avoir \(\displaystyle{N=2mg\frac{(h-2R)}{R}-mg>0}\) et \(\displaystyle{h>\frac{5R}{2}}\)
(1 point)