Vitesse de libération (suite)
Durée : 5 mn
Note maximale : 5
Question
On veut soustraire un engin spatial de masse \(m\) à l'action de la gravitation terrestre (ce n'est pas une fusée mais plutôt l'obus de Jules Verne).
Le lancement s'effectue à partir d'un point de l'équateur.
En tenant compte de la rotation de la Terre par rapport à un Référentiel galiléen lié aux étoiles, déterminez la direction et la valeur minimale de la vitesse de libération \(\vec{V_1}\) qu'on doit lui communiquer au niveau du sol.
(On rappelle qu'en considérant la Terre comme un Référentiel galiléen, on trouve pour la vitesse de libération la valeur \(V_{10}=\sqrt{2gR}\) quelle que soit la direction de lancement)
\(R\) : rayon de la Terre
\(\Omega\) : vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport aux étoiles
\(g\) : accélération de la pesanteur.
Solution
La valeur de la vitesse de libération par rapport à un Référentiel galiléen est connue :
\({V_{10}}^2=2gR\).
La loi de composition des vitesses permet d'écrire :
\(\vec{V_{10}}=\vec{V_1}+\vec{\Omega}\wedge\vec{R}\)
(1 point)
On a donc \(\vec{V_1}=\vec{V_{10}}-\vec{\Omega}\wedge\vec{R}\)
et la norme de ce vecteur, ou plutôt son carré,
\({V_1}^2={V_{10}}^2+(\Omega R)^2-2\vec{V_{10}}(\vec{\Omega}\wedge\vec{R})\)
est minimal lorsque \(\vec{V_{10}}\) est dirigé suivant \(\vec{\Omega}\wedge\vec{R}\)
(2 points)
Sachant que la Terre a une période de rotation de 24h, on trouve que
\(\Omega R=\frac{(2\pi R)}{T}\approx420\mathrm{ ms}^{-1}\)
(1 point)
Cette valeur est très inférieure à celle de \(V_{10}\) de sorte que \(V_1\) est aussi dirigé suivant \(\vec{\Omega}\wedge\vec{R}\); c'est à dire, à partir du point de lancement, horizontalement et vers l'est, dans le sens de la rotation (regardez la construction géométrique sur le schéma).
(1 point)