Équations différentielles du 1er ordre

Recherche de la solution \(y_H\) de l'équation homogène : \(\frac{dy}{dx}-3y=0\)

Cette équation à variables séparables \(\frac{dy_H}{y_H}=3dx\) s'intègre pour donner :

\(\ln | y_H | = 3x + C ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

\(\Rightarrow | y_H | = e^{3x + C}\)

\(\Rightarrow\color{blue} | y_H | = K e^{3x} \color{black}, K \in\mathbb R ~~\color{red}\text{(4 points)}\)

Recherche de la solution particulière \(y_p\) :

Nous recherchons la solution \(y_p\) sous la même forme que le second membre c.à.d.

\(\color{blue}y_p = A \sin x + B \cos x ~~\color{red}\text{(2 points)}\)

avec \((dy_p/dx) = A \cos x - B \sin x\)

En portant \(y_p\) et \(y_p'\) dans l'équation complète nous obtenons :

\(y_p' - 3 y_p = A \cos x - B \sin x - 3A \sin x - 3B \cos x\)

\(= (A - 3B) \cos x - (3A + B) \sin x\)

\(= 2 \sin x + \cos x\)

Par identification, nous obtenons :

\(\color{blue}A - 3 B = 1\)

\(\color{blue}3 A + B = -2~~\color{red}\text{(4 points)}\)

La résolution du système conduit à \(A = B = - 1/2\)

d'où :

\(\color{blue}y_p=-\frac12(\sin x+\cos x)~~\color{red}\text{(2 points)}\)

La solution générale est donc :

\(\color{blue}y\color{black} = y_H + y_p = \color{blue}K e^{3x} - (1/2)( \sin x + \cos x) ~~\color{red}\text{(2 points)}\)