Choix du mode de représentation
Ce choix est tout à fait fondamental dans la mesure où il conditionne la facilité et parfois même la possibilité de traitement (ou non) des informations sur le problème en question.
Pour un grand nombre de problème physique (mécanique classique, électrostatique, électromagnétisme, etc...) on travaille le plus souvent dans un espace de représentation qui est un espace affine de R3. L'intérêt évident est que l'on dispose alors de toutes les propriétés d'Espace Vectoriel, permettant ainsi d'utiliser les opérateurs et le calcul vectoriels, et que l'on a aussi accès à toutes les intuitions et propriétés d'ordre géométrique. Espace de représentation qui est en relation directe avec l'espace physique réel dont il est en quelque sorte "la doublure".
La doublure certes, mais pas "le même".
La théorie de la relativité exige d'avoir recours à un espace de dimension 4 (la variable "ajoutée" : c.t ayant alors un autre statut que dans le cas de la mécanique classique). Dans cet espace donc peuvent être représentées des propriétés nouvelles, par l'intermédiaire de concepts nouveaux, complètement étrangers à l'ancienne représentation : par exemple, une trajectoire dans cet espace ne signifie pas la même chose que dans Rî.
Dans le cas où l'on veut représenter des phénomènes périodiques, il peut paraître naturel de se poser une question du même ordre : quel espace vectoriel et quelle base de cet espace pourraient convenir. La réponse à cette question (qui sera bientôt développée) passe par la théorie de la Transformation de Fourier . Qui sera même ensuite étendue par la Transformation de Laplace au traitement de "presque" toute fonction (pas nécessairement périodique) pourvu qu'elle satisfasse à quelques exigences de bon aloi (nulles à l'infini, nombre fini de discontinuités, etc.)...
Dernier exemple : si l'on se pose comme problème la mise en évidence des variations de la vitesse d'oscillations (dans un système amorti), la vitesse devrait donc intervenir comme paramètre de description du système. La description par un paramètre: position en fonction du temps est en ce cas moins bien adaptée que celle fournie par: vitesse en fonction de la position, et la raison en est simple : l'amortissement correspond à une perte d'énergie, et les 2 formes d'énergie intervenant s'expriment respectivement en fonction de la position (pour l'énergie potentielle) et de la vitesse (pour l'énergie cinétique).
Cette dernière description opère dans un espace de représentation construit comme le produit: Vitesses*Position. Cet espace est appelé usuellement Espace des Phases. Nous en donnons immédiatement deux exemples d'utilisation.