Physique
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Espace des phases / système Masse-Ressort-Amortisseur.

Soit la variable (algébrique) qui définit la position de la masse : l'origine est prise à la position de repos du ressort, i.e. lorsque le système est en équilibre.

Pour modéliser ce problème, on peut admettre que :

  • La force qu'exerce le ressort est proportionnelle à son allongement, ce qui exige en général que cet allongement soit de faible amplitude par rapport à la longueur du ressort au repos.

  • La force de rappel exercée sur la masse par le ressort de dureté s'exprime alors : .

  • La force exercée par l'amortisseur est linéaire par rapport à la vitesse, soit :

Le principe fondamental de la dynamique donne alors :

Dans le cas où le discriminant du polynôme caractéristique est négatif, et en posant :

, et

la solution de cette équation différentielle peut se mettre sous la forme :

Interprétation :

L'énergie cinétique du système est :

Son énergie potentielle est égale au travail pour vaincre la force exercée par le ressort, soit :

La relation obtenue ci-dessus peut alors s'exprimer :

  • Le cas où le coeff. d'amortissement est nul donne : .

  • La trajectoire elliptique ( ) dans l'espace des phases est donc une trajectoire à énergie totale constante.

  • La convergence vers son centre de la trajectoire spirale ( ) traduit une perte de l'énergie totale du système.

  • La trajectoire spirale divergente ( ) traduit la croissance de l'énergie totale du système.

Légende :
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