Physique
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Espace des phases / pendule : description simple d'une instabilité

L'étude du pendule simple dans le plan de phase permet de fournir des solutions y compris dans le cas (non-linéaire) des mouvements d'amplitude quelconque (schéma ci-dessous).

La vitesse tangentielle est , l'énergie cinétique est :

Prenant la position d'équilibre pour origine des potentiels, l'énergie potentielle est alors :

Le système étant supposé isolé (pas de frottement), son énergie totale reste constante (notée ), soit :

d'où :

Cette relation décrit l'ensemble des trajectoires à énergie constante.

Ces différentes trajectoires sont représentées (ci-dessus) dans l'espace des phases .

Si l'énergie totale du pendule est supérieure à , il effectuera des rotations toujours dans le même sens.

Dans le cas particulier où l'énergie totale du système est , la trajectoire dans l'espace des phases possède un point de rebroussement en , ce qui correspond à un point d'arrêt du mouvement dans l'espace physique en ( ) avec changement possible du signe de la vitesse .

Si l'énergie totale du pendule est inférieure à , il effectuera des oscillations d'amplitude plus ou moins grande (selon la valeur de son énergie).

Légende :
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