Physique
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Annexe : Calcul direct des valeurs propres et des vecteurs propres dans le cas d'un système de N masses

Nous avons écrit la matrice telle que :

avec :

La détermination des valeurs propres du système nécessite la résolution de :

Le calcul direct des étant impossible, nous allons faire appel à une série d'intermédiaires pour le mener à bien.

  • On montre, en développant le déterminant ci-dessus par rapport à sa dernière ligne, que :

  • On écrit alors : ,

Ce qui s'exprime par la relation matricielle :

soit :

  • On applique alors le même processus pour et ainsi de suite jusqu'à

Le terme n'a aucune signification physique (car serait la matrice du système dans le cas où il n'y aurait pas de masse).

Toutefois c'est un intermédiaire de calcul commode et on montre que :

On a alors :

Or :

En définissant par : , on a donc :

D'où :

Il faut donc calculer , pour pouvoir calculer , c'est-à-dire .

On doit pour cela diagonaliser . En faisant , on trouve les valeurs propres et de :

et

On appelle la matrice diagonale associée à telle que :

,

étant la matrice de changement de base permettant de diagonaliser .

Les colonnes et sont formées des composantes des vecteurs propres associés aux valeurs propres et .

On trouve : et si

On calcule alors :

,

expression qu'il faut annuler pour déterminer les valeurs propres et .

Deux cas sont à envisager :

  1. et réels et

    Il est alors impossible d'annuler .

  2. et complexes .

    On peut alors poser . Les valeurs propres s'écrivent alors :

    et

    d'où :

Il reste maintenant à déterminer les vecteurs propres associés à ces valeurs propres. Pour le p-ième mode, on doit résoudre le système :

avec :

Posons :

Alors, donne :

On montre par récurrence que :

D'où la solution :

avec  et

Légende :
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