Annexe : Calcul direct des valeurs propres et des vecteurs propres dans le cas d'un système de N masses

Nous avons écrit la matrice \(U\) telle que : \(\ddot \Psi = U . \Psi\)

avec : \(U = \omega_0^2 . \left| \begin{array}{cccccccc} -2 & 1 & 0 & \mathrm{ }.\mathrm{ } & \mathrm{ }.\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & -2 \end{array} \right|\)

La détermination des valeurs propres \(\Omega^2\) du système nécessite la résolution de :

\(\textrm{d\'et}[u_N] = \textrm{d\'et} \left[ \begin{array}{cccccccc} \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & \mathrm{ }\mathrm{ }.\mathrm{ }\mathrm{ } & \mathrm{ }\mathrm{ }.\mathrm{ }\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & . & 1 & \Omega^2 - 2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & \Omega^2 - 2 \end{array} \right] = 0\)

Le calcul direct des \(\Omega^2\) étant impossible, nous allons faire appel à une série d'intermédiaires pour le mener à bien.

  • On montre, en développant le déterminant ci-dessus par rapport à sa dernière ligne, que :

    \(\textrm{d\'et} [u_N] = ( \Omega^2 - 2 ) . \textrm{d\'et} [u_{N - 1}] ~ - ~ \textrm{d\'et} [u_{N - 2}]\)

  • On écrit alors : \(\textrm{d\'et} [u_{N-1}] = 1.\textrm{d\'et} [u_{N-1}] + 0.\textrm{d\'et} [u_{N-2}]\) ,

Ce qui s'exprime par la relation matricielle :

\(\left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_N] \\ \textrm{d\'et}[u_{N-1}] \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ } -1 \\ 1 & \mathrm{ }0 \end{array} \right] ~ . ~ \left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_{N-1}] \\ \textrm{d\'et}[u_{N-2}] \end{array} \right]\)

soit : \(X_N = A ~ . ~ X_{N-1}\)

  • On applique alors le même processus pour \(X_{N-1}\) et ainsi de suite jusqu'à

    \(X_1 = \left[ \begin{array}{c} \textrm{d\'et}[u_1] \\ \textrm{d\'et}[u_0] \end{array} \right]\)

Le terme \(\textrm{d\'et}[u_0]\) n'a aucune signification physique (car \(u_0\) serait la matrice du système dans le cas où il n'y aurait pas de masse).

Toutefois c'est un intermédiaire de calcul commode et on montre que :

\(\textrm{d\'et} [u_0] = 1 ~~~~ \Rightarrow ~~ X_1 = \left[ \begin{array}{c} \Omega^2 - 2 \\ 1 \end{array} \right]\)

On a alors : \(X_N = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ }-1\mathrm{ } \\ 1 & \mathrm{ }0\mathrm{ }\end{array} \right] ^{N-1} . ~ X_1 = A^{N-1} . ~ X_1\)

Or : \(X_1 = \left[ \begin{array}{c} \Omega^2 - 2 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ }-1\mathrm{ } \\ 1 & \mathrm{ }0\mathrm{ }\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]\)

En définissant \(X_0\) par : \(X_0 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]\) , on a donc : \(X_1 = A . X_0\)

D'où :

\(X_N = \left[ \begin{array}{cc} \Omega^2 - 2 & \mathrm{ }-1\mathrm{ } \\ 1 & \mathrm{ }0\mathrm{ }\end{array} \right] ^{N} . ~ X_0 = A^{N} . ~ X_0\)

Il faut donc calculer \(A^N\), pour pouvoir calculer \(X_N\) , c'est-à-dire \(\textrm{d\'et} [u_N]\).

On doit pour cela diagonaliser \(A\). En faisant \(\textrm{d\'et}[A - \lambda.I] = 0\), on trouve les valeurs propres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) de \(A\) :

\(\lambda_1 = \frac{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big) ~ - ~ \sqrt{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big)^2 - ~ 4}}{2} ~~\) et \(~~ \lambda_2 = \frac{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big) ~ + ~ \sqrt{\Big(\Omega^2 ~ - ~ 2\Big)^2 - ~ 4}}{2}\)

On appelle \(A_d\) la matrice diagonale associée à \(A\) telle que :

\(A = S ~ . ~ \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right] ~ . ~ S^{-1} = S . A_d . S^{-1}\) ,

\(S\) étant la matrice de changement de base permettant de diagonaliser \(A\).

Les colonnes \(S_1\) et \(S_2\) sont formées des composantes des vecteurs propres associés aux valeurs propres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).

On trouve : \(~~~~ S = \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1\end{array} \right] ~~\) et \(~~ S^{-1} = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} 1 & - \lambda_2 \\ - 1 & \lambda_1\end{array} \right] ~~\) si \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)

On calcule alors :

\(\begin{array}{lll} X_N & = & A^N . X_0 \\ & = & [S . A_d . S^{-1}]^N . X_0 \\ & = & S . [A_d]^N . S^{-1} . X_0 \\ & = & \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1 & \lambda_2 \\ 1 & 1\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1^N & 0 \\ 0 & \lambda_2^N \end{array} \right] . \left[ \begin{array}{cc} 1 & - \lambda_2 \\ - 1 & \lambda_1\end{array} \right] . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \end{array}\)

\(\Rightarrow ~~ X_N = A^N . \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} \left[ \begin{array}{cc} \lambda_1^{N+1} - \lambda_2^{N+1} \\ \lambda_1^N - \lambda_2^N \end{array} \right]\)

\(\Rightarrow ~~\textrm{d\'et}[u_N] = \frac{1}{\big(\lambda_1 - \lambda_2\big)} (\lambda_1^{N+1} - \lambda_2^{N+1})\) ,

expression qu'il faut annuler pour déterminer les valeurs propres \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\).

Deux cas sont à envisager :

  1. \(( \Omega^2 - 2 )^2 - ~ 4 > 0 ~~~~\) \(\Rightarrow ~~\) \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) réels et \(\lambda_1 ~ \# ~ \lambda_2\)

    Il est alors impossible d'annuler \(\textrm{d\'et} [u_N]\) .

  2. \(( \Omega^2 - 2 )^2 - ~ 4 < 0 ~~~~\) \(\Rightarrow ~~\) \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) complexes \(~~ \Rightarrow ~ \Omega^2 < 4\) .

    On peut alors poser \(\Omega^2 = 4 \sin^2 \theta\). Les valeurs propres s'écrivent alors :

    \(\lambda_{1, 2} = \frac{2 . (2 \sin^2 \theta - 1) ~ \pm ~ 2.i. \sqrt{1 - (2 \sin^2 \theta - 1)^2}}{2} = - \cos (2 \theta) ~ \pm ~ i . \sin (2 \theta)\)

    \(\Rightarrow ~~\) \(\lambda_1 = - \mathrm{e}^{2 . i . \theta}~~\) et \(~~ \lambda_2 = - \mathrm{e}^{-2 . i . \theta}\)

    \(\begin{array}{lll} \textrm{d\'et}[u_N] = 0 & \Rightarrow & \lambda_1^{N+1} = \lambda_2^{N+1} \\ & \Rightarrow & \sin \big( 2 (N+1) \theta \big) = 0 \\ & \Rightarrow & \theta_p = \frac{p . \pi}{2 . (N+1)} \end{array}\)

    d'où : \(\Omega_p^2 = 4 . \sin^2 \Big( \frac{p . \pi}{2 . (N+1)} \Big)\)

Il reste maintenant à déterminer les vecteurs propres associés à ces valeurs propres. Pour le p-ième mode, on doit résoudre le système :

\(\begin{array}{lc} ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^1 + M_p^2 = 0 & (1) \\ M_p^{i-1} + ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^i + M_p^{i+1} = 0 \mathrm{ } \mathrm{ } & (2) \\ M_p^{N-1} + ( -2 + \Omega_p^2 ) . M_p^N = 0 & (3) \end{array}\)

avec : \(~~ -2 + \Omega_p^2 = - 2 \cos (2 \theta_p)\)

Posons : \(M_p^1 = \sin(2 \theta_p)\)

Alors, \((1)\) donne : \(~~ - 2 \cos(2 \theta_p) . \sin (2 \theta_p) + M_p^2 = 0 ~~~~ \Rightarrow ~~ M_p^2 = \sin (4 \theta_p)\)

On montre par récurrence que : \(M_p^n = \sin (2.n. \theta_p)\)

D'où la solution : \(~~~~ \left| \begin{array}{l} \Psi^1 \\ \Psi^2 \\ ... \\ \Psi^N \end{array} \right| = \displaystyle{\sum_{p = 1}^N} \left| \begin{array}{l} \sin (2 \theta_p) \\ \sin (4 \theta_p) \\ ... \\ \sin (2.N.\theta_p) \end{array} \right| ~.~ a^p . \cos (\Omega_p . t + \alpha_p)\)

avec \(~~~~ \Omega_p = 2 . \omega_0 . \sin \theta_p ~~\) et \(~~ \theta_p = \frac{p . \pi}{2.(N+1)}\)