Physique
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Résolution

On applique ici la technique générale consistant à rechercher la matrice de changement de base,

  • telle que

  • et que sur la nouvelle base (en coordonnées ) la matrice du système soit diagonale.

Notons cette matrice diagonale.

Dans ces conditions, l'équation précédente est remplacée par la nouvelle équation :

On pose :

de sorte que la composante de rang de la relation s'écrit :

et admet une solution générale de pulsation , soit :

La matrice de changement de base peut s'exprimer comme ligne de vecteurs , soit :

D'où :

soit :

On calcule de même :

.

Soit en identifiant :

Les sont vecteurs propres de la matrice , aux valeurs propres .

Les satisfont donc l'équation générale aux pulsations propres ,

désigne la matrice unité de dimension .

Les solutions permettent alors d'expliciter les modes propres en coordonnées

avec

La connaissance des permet d'en déduire l'expression générale de la vibration en coordonnées par la relation : , soit :

soit :

Dans le mode propre de rang , la vibration de l'ensemble des variables décrivant le système est donc définie par :

Dans le mode propre de rang , le mouvement du n-ième plomb est décrit par l'expression de la n-ième coordonnée soit :

Propriété

Pour chacun des modes propres, toutes les coordonnées du système (ici les amplitudes des masses) oscillent :

  • à la même pulsation

  • avec la même phase

  • selon des rapports d'amplitudes définis par le p-ième vecteur propre .

Remarque

Il est possible que certaines masses vibrent en opposition de phase tout en ayant la même valeur de la phase : elles ont alors des amplitudes opposées.

Reprenons l'exemple du système constitué de ressorts et de masses assujetties à des vibrations transversales, tel que les extrémités de ce système sont fixes (en et ).

La vibration générale de ce système s'exprime sur la base des modes propres :

Simulation : Mode propre horizontal symétrique
Simulation : Mode propre horizontal antisymétrique
Simulation : Mode propre vertical symétrique
Simulation : Mode propre vertical antisymétrique
Remarque

Remarquez sur ces simulations que les masses sont situées sur des enveloppes qui sont des fonctions sinus (en fonction de la variable ).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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