Interprétation
Les éléments de la colonne \(M_p\) fournissent les rapports d'amplitudes des \(N\) paramètres (ici l'amplitude de chacune des \(N\) masses du système) vibrant dans le mode propre de rang \(p\).
Les extrémités du système considéré étant fixes, on remarque que les amplitudes successives des \(N\) masses (rangs \(n\) successifs de \(1\) à \(N\)) sont données, dans tout mode \(p\), par les expressions du type :
\(\sin (n.K_p.a) = \sin (K_p. z_n)\)
où \(z_n = n.a\) représente l'ordonnée sur l'axe \(z\) de la n-ième masse.
Par conséquent, dans le mode propre de rang \(p\), l'amplitude des vibrations de la n-ième masse s'inscrit sur la courbe enveloppe d'équation : \(\sin (K_p . z)\)
Cette enveloppe satisfait les conditions aux limites du système, soit ici :
en \(z=0\) \(~~~~ \Rightarrow ~~\) \(\sin (K_p . 0) = 0\) , et
en \(z=L\) \(~~~~ \Rightarrow ~~\) \(\sin (K_p.L) = \sin \Big(\frac{p . \pi}{L} . L \Big) = 0\)
L'enveloppe qui caractérise le mode propre de rang \(p\) a une périodicité spatiale \(\lambda_p = \frac{2 . \pi}{K_p}\) que l'on appelle longueur d'onde du mode \(p\).