Oscillations libres non amorties

Pour résoudre un système à \(N\) degrés de liberté, il faut donc :

• Justifier les approximations qu'il faut faire pour pouvoir considérer le système comme linéaire, puis écrire la matrice \(U\) du système.

• Déterminer les \(N\) modes propres en coordonnées \(\phi\) , c'est-à-dire :

  • déterminer les pulsations propres \(\omega_p\) qui satisfont l'équation : \(\textrm{d\'et} (U + \omega^2.I ) = 0\)

  • les composantes du mode propre numéro \(p\) en coordonnées \(\phi\) sont toutes nulles sauf la p-ième composante qui vaut : \(\phi^p = A^p . \cos (\omega_p.t + \alpha_p)\)

  • déterminer les vecteurs propres \(M_p\) de la matrice \(U\) associés à ces pulsations propres \(\omega_p\) par les relations : \(U.M_p = - \omega_p^2.M_p\)

• Déterminer les \(N\) modes propres en coordonnées \(\Psi\) par les relations : \(\Psi_p = M_p . \phi^p\)

• Exprimer la vibration générale : \(\displaystyle{\Psi = M . \phi = \sum_{p = 1}^{p = N} M_p . \phi^p = \sum_{p = 1}^{p = N} \Psi_p}\)

  Dans le cas le plus général, l'état de vibration du système s'exprime ainsi sur la base des modes propres \(\Psi_p\) , chacun des coefficients \(A^p\) représentant la composante de \(\Psi\) sur le mode propre \(p\).

• Si des conditions initiales de vitesse et de position sont fixées pour les \(N\) coordonnées de masses (i.e. \(2N\) conditions initiales), il est alors possible de connaître la vibration particulière du système en déterminant les \(N\) coefficients \(A^p\) et les \(N\) coefficients \(\alpha_p\) .