Mise en équations

On notera :

  • \(a\) la distance entre les axes de vibrations de \(2\) masses consécutives.

  • \(a_0\) la longueur au repos des ressorts (avec \(a_0 < a\)).

Hypothèse des petites oscillations :

  • la longueur de tous les ressorts (au second ordre près) est égale à : \(a\)

  • par conséquent : la norme de toutes les tensions (au second ordre près) est égale à : \(T = K(a - a_0)\)

La projection sur l'axe \(\Psi\) du Principe Fondamental de la Dynamique donne \(N\) équations :

\(\begin{array}{lll} m . \ddot \Psi^1 & = & \frac{T}{a} \big( \Psi^2 - \Psi^1\big) - \frac{T}{a} \Psi^1 \\ ........... & ... & .................................................... \\ m . \ddot \Psi^n & = & \frac{T}{a} \big( \Psi^{n+1} - \Psi^n \big) - \frac{T}{a} \big( \Psi^n - \Psi^{n-1} \big) \\ ........... & ... & .................................................... \\ m . \ddot \Psi^N & = & \frac{T}{a} \big( - \Psi^N \big) - \frac{T}{a} \big( \Psi^N - \Psi^{N-1} \big) \end{array}\)

qui expriment, dans un espace de dimension \(N\), une relation entre le vecteur état \(\Psi\) et sa dérivée seconde, soit :

\(\ddot \Psi = U . \Psi\)

Noter que, dans le système précédent, la première et la dernière équation se retrouvent à partir de l'équation de rang \(n\) en posant respectivement :

\(\Psi^0 = 0 ~~\) et \(~~ \Psi^{N+1} = 0\) .

En ordonnant les équations précédentes selon l'exposant de \(\Psi\) et en posant :

\(\frac{T}{m.a} = \omega_0^2\)

(homogène au carré d'une pulsation), on obtient la matrice \(U\) qui caractérise ce système :

\(U = \omega_0^2 . \left| \begin{array}{cccccccc} -2 & 1 & 0 & \mathrm{ }.\mathrm{ } & \mathrm{ }.\mathrm{ } & . & . & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . & . \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ . & . & . & . & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & . & . & . & . & 0 & 1 & -2 \end{array} \right|\)