Position du problème et modélisation
Dans l'étude des systèmes à \(N\) degrés de liberté (\(N\) masses ayant chacune \(1\) degré de liberté), nous avons défini les approximations qui constituaient le cadre limitatif de notre traitement :
Système non dissipatif (pas d'amortissement).
Système linéaire (approximation des "petites oscillations").
Description du système physique en considérant que les masses étaient localisées : seuls les plombs étaient supposés posséder une masse, considérée comme ponctuelle, les ressorts de couplage entre les plombs étant supposés de masse nulle.
On se place à nouveau dans le cadre de systèmes non dissipatifs et linéaires. Par contre, la dernière limitation n'était que transitoire et permet d'introduire un niveau théorique plus général que nous abordons maintenant : à savoir celui des milieux continus.
Le prototype de milieu continu sera la corde vibrante (la masse est maintenant répartie, sur toute la corde).
Il s'agit, comme dans le chapitre précédent, de déterminer les équations du système, la solution générale, et la vibration particulière du système lancé par des conditions initiales.
Méthode :
Le milieu continu "corde vibrante" s'obtient à partir du cas discret de la "corde plombée", par un passage à la limite dans lequel simultanément :
la masse : \(m\) de chaque plomb tend vers zéro,
la distance : \(a\) entre chacun d'eux tend aussi vers zéro,
le nombre : \(N\) de plombs tend vers l'infini, de sorte que :
le produit : \(N.m\) tende vers la Masse Totale : \(M\) de la corde, et
le produit : \((N+1).a\) tende vers la Longueur Totale : \(L\) de la corde
L'approximation -2- permet de supposer que les "petites oscillations" de la corde se traduisent par des déformations assez faibles et des variations de longueur négligeables.
Dans ces conditions, on peut en chaque point définir la tension de la corde, et admettre que la grandeur scalaire définissant la tension de la corde est constante.
Seule la direction des vecteurs tangents à la corde, c'est-à-dire la direction des forces varie d'un point à l'autre de la corde.
(Noter que cette même propriété était déjà utilisée dans le cas d'un système masses-ressorts, comme conséquence des petites oscillations).