Oscillations libres non amorties

• Dans le cas du système des \(N\) masses, on a trouvé la vibration de la n-ième masse lorsque le système vibre dans le mode propre \(p\) (de pulsation \(\omega_p\)) sous la forme :

  \(\psi_p^n = M_p^n . A^p . \cos(\omega_p t + \alpha_p)\)

  Dans cette expression :

  • \(M_p^n\) caractérise l'amplitude dans le mode \(p\) de la masse \(n\), située en \(z_n = n.a\). Cette amplitude est donc une fonction de \(z_n\).

  • La solution \(\psi_p^n\) s'exprime par le produit de cette fonction de \(z_n\) par la valeur (en fonction de \(t\)) de la fonction propre oscillante : \(\cos (\omega_p t + \alpha_p)\).

• Dans le cas de la corde vibrante, \(z\) représente l'ordonnée (sur l'axe \(Oz\)) de l'élément de la corde sur lequel on applique le Principe Fondamental de la Dynamique :

  • l'amplitude de la vibration sera recherchée sous forme d'une fonction \(F\) de \(z\),

  • la solution de l'équation des cordes vibrantes sous forme d'un produit de la valeur \(F(z)\) de cette fonction par la valeur instantanée de la fonction oscillante \(\cos (\omega_p t + \alpha_p)\).

La forme des vibrations dans le cas du nombre infini de degrés de liberté est ainsi induite par le passage à la limite qui a été annoncé.

Le mode propre \(p\) sera donc recherché sous la forme :

On calcule les dérivées de \(\psi_p(z,t)\) :

\(\left( \begin{array}{l} \frac{\partial^2 \psi_p(z,t)}{\partial z^2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}^2 F_p(z)}{\mathrm{d} z^2} \end{array} \right). \cos (\omega_p t + \alpha_p)\)

\(\left( \begin{array}{l} \frac{\partial^2 \psi_p(z,t)}{\partial t^2} \end{array} \right) = - \omega_p^2 . F_p(z) . \cos (\omega_p t + \alpha_p)\)

On injecte ces valeurs dans l'équation de propagation, ce qui donne :

\(\left( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}^2 F_p(z)}{\mathrm{d} z^2} \end{array} \right). \cos (\omega_p t + \alpha_p) = - \frac{\rho}{T} ~ . \omega_p^2 . F_p(z) . \cos (\omega_p t + \alpha_p)\)

L'équation obtenue en \(z\) :

\(\left( \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}^2 F_p(z)}{\mathrm{d} z^2} \end{array} \right) = - \frac{\rho}{T} ~ . \omega_p^2 . F_p(z)\)

permet de déterminer la forme générale de l'amplitude \(F_p(z)\) du mode propre de pulsation \(\omega_p\) :