Relations de dispersion : cas discret / cas continu
Dans le cas du système de \(N\) masses, on a trouvé une relation \(\omega(K)\) pour les modes propres, définie par :
\(\omega_p = 2 . \omega_0 . \sin \Big(K_p . \frac{a}{2}\Big) = 2 . \sqrt{\frac{T}{m . a}} . \sin \Big(K_p . \frac{a}{2}\Big)\)
Remarquer que cette relation \(\omega(K)\) n'est pas linéaire.
On dit que ce système est dispersif pour la vibration considérée.
Contrairement au cas de la corde plombée, la relation de dispersion \(\omega(K)\) pour la corde continue est maintenant linéaire :
le rapport \(\frac{\omega}{K} = \sqrt{\frac{T}{\rho}}\) est indépendant de \(K\).
On dit que ce système n'est pas dispersif pour la vibration considérée.
La relation de dispersion de la corde continue s'obtient par le passage à la limite défini au § B.2.a., à partir de la relation de dispersion du système de \(N\) masses. En effet :
\(\begin{array}{lll} a \rightarrow 0 \mathrm{ }\mathrm{ } & \Rightarrow & K_p . \frac{a}{2} \rightarrow 0 \\ & \Rightarrow & \sin \Big(K_p . \frac{a}{2}\Big) \rightarrow K_p . \frac{a}{2} \\ & \Rightarrow & \omega_p \rightarrow 2 . \sqrt{\frac{T}{m.a}} . K_p . \frac{a}{2} = \sqrt{\frac{T.a}{m}} . K_p \end{array}\)
où \(\frac{m}{a}\) représente la masse par unité de longueur, puisque dans le système des \(N\) masses, les masses sont séparées par la distance \(a\). D'où \(\frac{a}{m} \rightarrow \frac{1}{\rho}\).
Donc : \(\omega_p \rightarrow \sqrt{\frac{T}{\rho}} . K_p\)
La pulsation propre \(\omega_p\) du système de \(N\) masses tend vers celle de la corde continue dans le passage à la limite défini précédemment.