Conditions initiales de position et de vitesse
Comme dans le cas du système de \(N\) masses, connaissant la forme de la vibration générale de ce nouveau système, il s'agit de déterminer sa vibration particulière lorsqu'il est lancé par des conditions initiales (de positions et de vitesses).
Considérons à nouveau la corde fixée en ses extrémités.
Connaissant la vibration du système :
\(\displaystyle{\psi(z,t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} b_p . \sin (K_p . z) . \cos (\omega_p t + \alpha_p) }\)
la vitesse en chaque point, est :
\(\displaystyle{\dot\psi(z,t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} - \omega_p . b_p . \sin (K_p . z) . \sin (\omega_p t + \alpha_p) }\)
La vitesse à l'instant initial s'obtient en faisant \(t = 0\) :
\(\displaystyle{\dot\psi(z,0) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} - \omega_p . b_p . \sin (K_p . z) . \sin (\alpha_p) }\)
On voit donc qu'une condition initiale du type : vitesse nulle en tout point de la corde est satisfaite par l'égalité : \(\alpha_p = 0 ~~~~~~ \forall p\)
Avec cette condition initiale sur la vitesse, la vibration s'exprime alors :
\(\displaystyle{\psi(z,t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} b_p . \sin (K_p . z) . \cos (\omega_p t) }\)
A l'instant initial : \(\cos(\omega_p t)=1 ~ , ~~~~~~ \forall p\)
\(\Rightarrow ~~~~ \displaystyle{\psi(z,0) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} b_p . \sin (K_p . z) }\)
Remarquez que les valeurs définies par \(\psi(z,0)\) représentent la forme de la corde à l'instant \(t = 0\).
La question est maintenant de savoir déterminer les coefficients \(b_p\) de ce développement si l'on connaît la forme géométrique de la corde à l'instant \(t = 0\).
Dans ces conditions, la connaissance de ces coefficients (définis par l'état initial de la corde) permettra de prédire l'évolution de ce système.
Cette question sera résolue plus loin, en utilisant la théorie des Séries de Fourier.