Conditions aux limites, modes propres, et vibration générale
La spécification des conditions aux limites de la corde permet de définir les modes propres compatibles avec ces conditions.
Soit par exemple une corde, dont les extrémités sont fixes, en \(z=0\) et \(z=L\).
Ces conditions aux limites donnent, pour tous les modes propres \(p\) :
\(F_p(0) = 0 ~~ \rightarrow ~~ a_p . \cos (K_p . z) + b_p . \sin (K_p . z) = a_p = 0\)
On s'intéresse alors au seul cas : \(b_p ~ \# ~ 0\) (car le cas \(b_p = 0\) conduirait à l'immobilité totale)
\(F_p(L) = 0 ~~ \rightarrow ~~ b_p . \sin (K_p . L) = 0\)
\(\Rightarrow\) Seules sont compatibles avec ces conditions aux limites certaines valeurs "permises" de \(K\), notées \(K_p\) , telles que \(K_p . L = p . \pi\) , soit :
\(K_p = p . \frac{\pi}{L} ~~~~~~ \textrm{o\`u p est un entier quelconque.}\)
Propriété :
L'état vibratoire le plus général s'écrit comme une combinaison linéaire d'une infinité de modes propres du système, soit
\(\displaystyle{\psi(z,t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} \psi_p (z,t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} F_p(z) . \phi^p(t) = \sum_{p = 1}^{p = \infty} F_p(z) . \cos (\omega_p t + \alpha_p)}\)
Dans le cas particulier des conditions aux limites définies par les extrémités fixes du système, la vibration du système s'exprime :
\(\displaystyle{\psi(z,t) = \sum_{p=1}^{p=\infty} b_p . \sin (K_p . z) . \cos (\omega_p t + \alpha_p)}\)