Définitions
Il s'agit de donner une définition correspondant à la situation de l'exemple a. On considère un intervalle \(I\), non réduit à un point, de \(\mathbb R\), un point \(x_0\) de \(I\) et une application \(f\) de \(I\setminus\{x_0\}\), noté \(I^*\), dans \(\mathbb R\).
Définition : Définition 1
La fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(x_0\) s'il existe un réel \(l\) tel que la fonction \(f^*\), définie par :
\(\displaystyle{\forall x\neq x_0\quad f^*(x)=f(x)\textrm{ et }f^*(x_0)=l}\)
soit continue en \(x_0\) .
La définition suivante est équivalente.
Définition : Définition 2
On dit que \(f\) a une limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) , s'il existe un réel \(l\) tel que, quel que soit \(\epsilon>0\), il existe \(\eta>0\) tel que, si \(x\) appartient à \(I^*\) et vérifie \(\vert x- x_0\vert<\eta\) , on ait \(\vert f(x)-l\vert<\epsilon\).
Soit en langage formalisé :
\(\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\).
Il résulte immédiatement qu'une fonction qui a une limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) est bornée au voisinage de ce point.
Une fonction \(f\) qui n'a pas de limite en \(x_0\) est caractérisée par la proposition :
\(\displaystyle{\forall l\in\mathbb R,\exists\epsilon>0,\forall\eta>0,\exists x\in\mathbb R^*\quad(\vert x\vert<\eta\textrm{ et }\vert f(x)-l\vert\geq \epsilon)}\)
C'est le cas dans l'exemple d. ainsi que dans l'exemple e. où la fonction est non bornée au voisinage de \(0\).
Proposition : Proposition - définition
Le nombre \(l\) ainsi défini est unique. On dit que \(l\) est la limite de \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) .
Preuve :
Soit \((u_n)\) une suite d'éléments de \(I^*\) admettant \(x_0\) pour limite; la suite \((f^*(u_n))=(f(u_n))\) est donc convergente et a pour limite \(l\), ce qui entraîne l'unicité de \(l\).
Notation
On écrit :
\(\displaystyle{l=\lim_{x\to x_0}f(x)}\)
On dit également que \(l\) est la limite de \(f\) en \(x_0\).
Attention :
comme pour les suites, on utilise le symbole \(\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)}\) seulement quand l'existence de la limite a été établie.
De la proposition précédente on déduit en particulier :
Théorème :
Pour qu'une application \(f\) de \(I^*\) dans \(\mathbb R\) ait une limite quand \(x\) tend vers \(x_0\), il faut et il suffit que, pour toute suite \((u_n)\) d'éléments de \(I^*\) qui vérifie \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=x_0}\), la suite \((f(u_n))\) soit convergente.
Les suites \((f(u_n))\) ont alors toutes la même limite qui est celle de la fonction \(f\) quand \(x\) tend vers \(x_0\).
Remarque :
La définition \(2\) s'applique immédiatement dans le cas où \(f\) est définie sur \(I\); dans ce cas on a \(l=f(x_0)\) et \(f\) est continue en \(x_0\).
Dans l'exemple c., \(f_3\) n'a pas de limite quand \(x\) tend vers \(0\), on aurait sinon \(l=0\). Mais, si l'on considère la restriction de \(f_3\) à \(\mathbb R^*\) soit \(\widehat{f_3}\), alors \(\widehat{f_3}\) a comme limite \(0\) en \(0\), cela correspond au concept dit "limite quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(x\neq x_0"\) que l'on écrit :
\(\displaystyle{l=\lim_{x\to x_0,x\neq x_0}f(x)}\).
On formalise ainsi ce concept :
\(\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I\quad(0<\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\).
On a donc introduit deux concepts de limite; on remarque qu'ils coïncident pour une application définie sur \(I\setminus \{ x_0\}\), ce qui est en fait le cas intéressant. Seul le premier concept est envisagé dans l'enseignement secondaire, c'est celui que nous utiliserons, les modifications pour passer à l'autre concept sont immédiates.
Le concept de limite s'étend sans difficulté quand \(x\) tend vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\), dans le cas d'une application \(f\) d'un intervalle \(I\), voisinage de \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\), dans \(\mathbb R\).
Définition :
On dit que la fonction \(f\) a une limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), s'il existe un réel \(l\) tel que, quel que soit \(\epsilon>0\), il existe \(B\) tel que l'inégalité \(x> B\) entraîne \( \vert f(x)-l\vert<\epsilon\).
Soit en langage formalisé :
\(\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0,\exists B>0,\forall x\in I\quad(x> B\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\);
on écrit \(\displaystyle{l=\lim_{x\to+\infty}f(x)}\).
Ainsi dans le cas de l'exemple e. on a \(\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}\).
On définit de même la limite d'une fonction quand \(x\) tend vers \(-\infty\).