Définitions [Etude locale des fonctions d'une variable réelle]

Définitions

Il s'agit de donner une définition correspondant à la situation de l'exemple a. On considère un intervalle $I$ , non réduit à un point, de $\mathbb R$ , un point $x_0$ de $I$ et une application $f$ de $I\setminus\{x_0\}$ , noté $I^*$ , dans $\mathbb R$ .

Définition : Définition 1

La fonction $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$ s'il existe un réel $l$ tel que la fonction $f^*$ , définie par :

$\displaystyle{\forall x\neq x_0\quad f^*(x)=f(x)\textrm{ et }f^*(x_0)=l}$

soit continue en $x_0$ .

La définition suivante est équivalente.

Définition : Définition 2

On dit que $f$ a une limite quand $x$ tend vers $x_0$ , s'il existe un réel $l$ tel que, quel que soit $\epsilon>0$ , il existe $\eta>0$ tel que, si $x$ appartient à $I^*$ et vérifie $\vert x- x_0\vert<\eta$ , on ait $\vert f(x)-l\vert<\epsilon$ .

Soit en langage formalisé :

$\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I^*\quad(\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}$ .

Il résulte immédiatement qu'une fonction qui a une limite quand $x$ tend vers $x_0$ est bornée au voisinage de ce point.

Une fonction $f$ qui n'a pas de limite en $x_0$ est caractérisée par la proposition :

$\displaystyle{\forall l\in\mathbb R,\exists\epsilon>0,\forall\eta>0,\exists x\in\mathbb R^*\quad(\vert x\vert<\eta\textrm{ et }\vert f(x)-l\vert\geq \epsilon)}$

C'est le cas dans l'exemple d. ainsi que dans l'exemple e. où la fonction est non bornée au voisinage de $0$ .

Proposition : Proposition - définition

Le nombre $l$ ainsi défini est unique. On dit que $l$ est la limite de $f$ quand $x$ tend vers $x_0$ .

Preuve :

Soit $(u_n)$ une suite d'éléments de $I^*$ admettant $x_0$ pour limite; la suite $(f^*(u_n))=(f(u_n))$ est donc convergente et a pour limite $l$ , ce qui entraîne l'unicité de $l$ .

Notation

On écrit :

$\displaystyle{l=\lim_{x\to x_0}f(x)}$

On dit également que $l$ est la limite de $f$ en $x_0$ .

Attention :

comme pour les suites, on utilise le symbole $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)}$ seulement quand l'existence de la limite a été établie.

De la proposition précédente on déduit en particulier :

Théorème :

Pour qu'une application $f$ de $I^*$ dans $\mathbb R$ ait une limite quand $x$ tend vers $x_0$ , il faut et il suffit que, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $I^*$ qui vérifie $\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=x_0}$ , la suite $(f(u_n))$ soit convergente.

Les suites $(f(u_n))$ ont alors toutes la même limite qui est celle de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $x_0$ .

Remarque :

La définition $2$ s'applique immédiatement dans le cas où $f$ est définie sur $I$ ; dans ce cas on a $l=f(x_0)$ et $f$ est continue en $x_0$ .

Dans l'exemple c., $f_3$ n'a pas de limite quand $x$ tend vers $0$ , on aurait sinon $l=0$ . Mais, si l'on considère la restriction de $f_3$ à $\mathbb R^*$ soit $\widehat{f_3}$ , alors $\widehat{f_3}$ a comme limite $0$ en $0$ , cela correspond au concept dit "limite quand $x$ tend vers $x_0$ , $x\neq x_0"$ que l'on écrit :

$\displaystyle{l=\lim_{x\to x_0,x\neq x_0}f(x)}$ .

On formalise ainsi ce concept :

$\displaystyle{\forall\epsilon>0,\exists\eta>0,\forall x\in I\quad(0<\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}$ .

On a donc introduit deux concepts de limite; on remarque qu'ils coïncident pour une application définie sur $I\setminus \{ x_0\}$ , ce qui est en fait le cas intéressant. Seul le premier concept est envisagé dans l'enseignement secondaire, c'est celui que nous utiliserons, les modifications pour passer à l'autre concept sont immédiates.

Le concept de limite s'étend sans difficulté quand $x$ tend vers $+\infty\textrm{ ou }-\infty$ , dans le cas d'une application $f$ d'un intervalle $I$ , voisinage de $+\infty\textrm{ ou }-\infty$ , dans $\mathbb R$ .

Définition :

On dit que la fonction $f$ a une limite quand $x$ tend vers $+\infty$ , s'il existe un réel $l$ tel que, quel que soit $\epsilon>0$ , il existe $B$ tel que l'inégalité $x> B$ entraîne $\vert f(x)-l\vert<\epsilon$ .

Soit en langage formalisé :

$\displaystyle{\exists l\in\mathbb R,\forall\epsilon>0,\exists B>0,\forall x\in I\quad(x> B\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}$ ;

on écrit $\displaystyle{l=\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ .

Ainsi dans le cas de l'exemple e. on a $\displaystyle{\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$ .

On définit de même la limite d'une fonction quand $x$ tend vers $-\infty$ .