Théorème de la limite monotone
Le théorème suivant est d'un grand intérêt pratique car il concerne de fait les fonctions monotones au voisinage d'un point. On en donne un énoncé et une démonstration relatifs à une situation donnée : intervalle ouvert et majoré, fonction croissante, point considéré borne supérieure de l'intervalle; il s'adapte sans difficulté aux autres situations.
Théorème :
Soit \(I\) un intervalle ouvert et majoré dont on note \(\omega\) la borne supérieure, on considère une fonction \(f\) définie et croissante sur \(I\).
Si \(f\) est majorée sur \(I\) alors \(f\) admet une limite en \(\omega\) et
\(\displaystyle{\lim_{x\to\omega}f(x)=\sup_{x\in I}f(x)}\)
Si \(f\) n'est pas majorée sur \(I\), alors \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(\omega\).
Preuve :
1. repose sur la propriété de la borne supérieure dans \(\mathbb R\) et pour 2. la démonstration est analogue à celle sur les suites monotones.
Si \(f\) est majorée, l'image \(f(I)\) est une partie non vide majorée de \(\mathbb R\), elle admet donc une borne supérieure \(l\) dans \(\mathbb R\).
Soit \(\epsilon>0\); il existe \(x_1\in I\) tel que \(\displaystyle{l-\epsilon< f(x_1)\leq l}\).
La fonction \(f\) étant croissante sur \(I\) on a, pour \(x\) vérifiant \(x_1< x<\omega\)
\(\displaystyle{l-\epsilon< f(x_1)\leq f(x)\leq l}\).
On note \(\eta=\omega-x_1>0\), on a :
\(\displaystyle{\forall x\in I\quad(0<\omega-x<\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\)
Si \(f\) n'est pas majorée; soit \(A\in\mathbb R\), il existe \(x_1\in I\) tel que \(f(x_1)> A\).
La fonction \(f\) étant croissante on a, pour \(x_1< x <\omega , f(x)> A\).
On note \(\eta=\omega-x_1>0\), on a :
\(\displaystyle{\forall x\in I\quad(0<\omega-x<\eta\Rightarrow f(x)> A)}\) .
On notera, une fois encore, la grande analogie avec le théorème des suites monotones.