Limite à droite, limite à gauche
L'exemple de référence est l'exemple b. en ce qui concerne la situation à gauche. On considère un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\), un point \(x_0\) de \(I\) et \(f\) une application de \(I\) ou \(I \setminus \{x_0\}\) dans \(\mathbb R\).
Définition :
On dit que \(f\) admet une limite à droite en \(x_0\) s'il existe un réel \(l\) tel que la restriction de \(f\) à l'ensemble \(]x_0,+\infty[\cap I\) admette pour limite \(l\) en \(x_0\) .
On traduit cette définition par
\(\displaystyle{\exists l\in\mathbb R\quad\forall\epsilon>0\quad\exists\eta>0\quad\forall x\in I\quad(x_0< x< x_0+\eta\Rightarrow\vert f(x)-l\vert<\epsilon)}\).
Le nombre \(l\) est unique, on note \(\displaystyle{\lim_{x\to x_0^+}f(x)=l=f(x_0^+)}\)
Définir la limite à gauche.
Exercice
Définir la limite à gauche.
Exemple :
Revenons à l'exemple b. où la fonction est définie par \(\displaystyle{f_2 :\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto E(x)=[x]}\).
On a \(\displaystyle{\lim_{x\to1^+}E(x)=1}\) et ,\(\displaystyle{\lim_{x\to1^-}E(x)=0}\) la fonction \(f_2\) est continue à droite mais non à gauche.
Dans l'exemple c., la fonction \(f_3\) définie par \(\displaystyle{f_3 :\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto0\quad x\neq0,\quad0\mapsto1}\), a une limite à droite qui est \(0\), une limite à gauche qui est \(0\); ces limites sont égales mais, suivant le concept que nous avons choisi de privilégier, ces limites n'étant pas égales à \(f_3(0), f_3\) n'a pas de limite en \(0\).
Soit maintenant \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R^*\) par \(\displaystyle{f(x)=\textrm e^{-\tfrac{1}{x}}}\) . La fonction \(f\) n'étant pas bornée quand \(x\) tend vers \(0\) à gauche elle n'a donc pas de limite à gauche; en revanche on a \(\displaystyle{\lim_{x\mapsto0^+}\textrm{e}^{-\tfrac{1}{x}}=0}\).