Fonctions tendant vers + l'infini ou - l'infini

On considère, comme précédemment, un intervalle de \(I\) de \(\mathbb R\) qui n'est ni vide ni réduit à un point, un point \(x_0\) de \(I\), et une application de \(f\) et \(I \setminus \{x_0\}\) noté \(I^*\), dans \(\mathbb R\).

Parmi les fonctions qui n'ont pas de limite quand \(x\) tend vers \(x_0\) les fonctions qui tendent vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\) jouent un rôle particulier.

L'exemple e. montre le cas d'une fonction "infiniment grande" (ou qui tend vers \(+\infty\)) quand \(x\) est voisin de \(0\) (\(x\) "infiniment petit").

Définition

On dit que la fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(x_0\) si, quel que soit \(A\), il existe un réel \(\eta\) strictement positif tel que, si \(x\) appartient à \(I^*\) et vérifie \(|x- x_0|<\eta\) , on ait \(f(x)>A\).

Soit en langage formalisé : \(\forall A\in\mathbb R,\exists~\eta>0,\forall x\in I^*,\vert x-x_0\vert<\eta\Rightarrow f(x)> A\).

On écrit \(f(x)\to+\infty\) quand \(x\to x_0\) ou encore \(\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty}\), en faisant attention dans ce cas, comme pour les suites, au fait que lim est un symbole : la fonction n'a pas de limite au sens ou nous l'avons définie.

Exercice

Donner les définitions de fonctions tendant vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\), symbolisées par \(f(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\textrm{ ou }-\infty\).