Limite et opérations [Etude locale des fonctions d'une variable réelle]

Limite et opérations

La définition de la limite entraîne immédiatement le théorème suivant; on l'exprime dans le cas de fonctions définies au voisinage d'un point $x_0$ , mais les conclusions restent les mêmes quand $x$ tend vers $+\infty\textrm{ ou }-\infty$ .

Théorème : Opérations algébriques

Si $f$ et $g$ ont pour limite respective, quand $x$ tend vers $x_0,l_1\textrm{ et }l_2$ alors, dans ces conditions,

$f+g$ a une limite qui est $l_1+l_2$ ,

$fg$ a une limite qui est $l_1l_2$ ,

si $\displaystyle{l_2\neq0, \frac{f}{g}}$ a une limite qui est $\displaystyle{\frac{l_1}{l_2}}$ .

Comme pour les suites les opérations sur les limites s'étendent dans certains cas aux fonctions tendant vers $+\infty\textrm{ ou }-\infty$ .

On ne peut donner de conclusions générales dans les cas suivants :

pour $f+g$ quand $f(x)\to+\infty$ , et $g(x)\to-\infty$ ,

pour $fg$ quand $f(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty$ , et $\lim g(x)=0$ ,

pour $\displaystyle{\frac{f}{g}}$ quand $f(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty$ , et $g(x)\to+\infty\textrm{ ou }-\infty$

ou $\lim f(x)=0 \textrm{ et }\lim g(x)=0$ .

Ces deux derniers cas sont liés car

$\displaystyle{\lim f(x)=0\Rightarrow\frac{1}{\vert f(x)\vert}\to+\infty}$ , mais...

Attention :

Pour que l'on ait $f(x)\to+\infty$ ou $f(x)\to-\infty$ il faut que $f(x)$ garde un signe constant.

Exercice

Donner, avec des fonctions simples, des exemples de "formes indéterminées" aboutissant à des résultats différents (on prendra par exemple la fonction $f : x\mapsto x$ ).

Théorème : Composition des applications

Soit $f$ et $g$ des fonctions définies respectivement sur $I\quad(\textrm{ou }I \setminus\{x_0\}) \textrm{ et }J\quad(\textrm{ou }J\setminus \{m\})$ .

On suppose que $f(I)\subset J$ . Si $f$ a une limite $m$ quand $x$ tend vers $x_0$ et si $g$ a une limite $l$ quand $u$ tend vers $m$ , alors $gof$ a une limite quand $x$ tend vers $x_0$ et

$\displaystyle{\lim_{x\to x_0}gof(x)=l}$ .

Preuve :

La démonstration est immédiate à partir de celle relative à la continuité.

Remarque :

On ne peut donner un tel énoncé pour le concept de limite quand $x\to x_0, x\neq x_0$ ; considérons en effet les fonctions $f_3 \textrm{ et }f_4$ , vues dans les exemples c. et d. du paragraphe 1.4., au voisinage de $0$ , elles ont alors toutes les deux une limite quand $x\to0, x\neq0$ : on a en effet $\displaystyle{\lim_{x\to0,x\neq0}f_3(x)=0,\textrm{ et }\lim_{x\to0,x\neq0}f_4(x)=0}$ . Considérons maintenant la fonction $f_3of_4$ au voisinage de $0$ . On a, alors :

$\displaystyle{\left\{\begin{array}{lll}f_3of_4\bigg(\frac{1}{k\pi}\bigg)=1&\textrm{si }x=\frac{1}{k\pi}\\f_3of_4(x)=0 &\textrm{si }x\ne\frac{1}{k\pi}\end{array}\right.}$

Tout voisinage de $0$ contient des réels de la forme $\displaystyle{\frac{1}{k\pi}}$ et des réels qui ne sont pas de cette forme; ainsi sur tout voisinage épointé de $0$ la fonction $f_3of_4$ prend les valeurs $0 \textrm{ et }1$ ; elle ne peut donc admettre de limite quand $x\to0, x\neq0$ . En fait si l'on considère les restrictions de $f_3 \textrm{ et }f_4 \textrm{ à }\mathbb R^*$ on a : $f_4(\mathbb R^*) \nsubset\mathbb R^*$ . C'est ce point relatif à la composition des applications qui a, du reste, conduit à privilégier le concept de limite quand $x\to x_0$ .