Espace vectoriel R^3
Partie
Question
On considère les vecteurs de \(\mathbb R^3\) suivants : \(u=(1,2,1)\), \(v=(2,3,-4)\), \(w=(-1,1,-6)\)
La partie \(\{u,v,w\}\) est-elle une partie libre de \(\mathbb R^3\) ?
Aide simple
Partir de l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
Ecrire le vecteur \(\alpha u+\beta v+\gamma w\) sous forme de triplet, puis traduire l'égalité \((1)\) sous forme de système.
Aide méthodologique
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
Le triplet \((0,0,0)\) vérifie toujours l'égalité \((1)\). Si c'est le seul triplet vérifiant \((1)\) alors la partie \(\{u,v,w\}\) est libre, sinon la partie \(\{u,v,w\}\) est liée.
Aide à la lecture
Il s'agit de répondre à la question suivante :
\(\alpha, \beta, \gamma\) étant trois réels, l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\), implique-t-elle \(\alpha=\beta=\gamma=0\) ?
Solution détaillée
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)\).
\((1)\Leftrightarrow(\alpha+2\beta-\gamma,2\alpha+3\beta+\gamma,\alpha-4\beta-6\gamma)=(0,0,0)\)
L'égalité de deux triplets se traduit par l'égalité des composantes de même rang.
Chercher les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\) revient donc à résoudre le système \((S)\) suivant :
\((S)\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0\\2\alpha&+&3\beta&+&\gamma&=&0\\\alpha&-&4\beta&-&6\gamma&=&0\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&-&6\beta&-&5\gamma&=&0&L_3\leftarrow L_3-L_1\end{array}\right.\)
équivalent à \(\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&=&0&\\&&&-&23\gamma&=&0&L_3\leftarrow L_3-6L_2\end{array}\right.\)
équivalent à \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
Le système \((S)\) a donc pour unique solution le triplet \((0,0,0)\).
L'égalité \(\alpha u+\beta v+\gamma w=0\) n'est vraie que lorsque les trois coefficients \(\alpha,\beta,\gamma\) sont tous les trois nuls.
La partie \(\{u,v ,w\}\) est donc une partie libre de \(\mathbb R^3\).