Espace vectoriel des suites réelles
Partie
Question
Soient \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\), \((v_n)_{n\in\mathbb N^*}\), \((w_n)_{n\in\mathbb N^*}\) les trois suites définies pour \(n\) entier supérieur ou égal à \(1\) par :
\(u_n=\ln(n),~v_n=\ln(1+n),~\displaystyle{w_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)
Montrer que ces trois suites sont linéairement dépendantes.
Aide simple
Pour montrer que l'une de ces trois suites peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres, utiliser la propriété de la fonction logarithme :
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs, \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) ou \(\displaystyle{\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b}\).
Aide méthodologique
Pour montrer que ces trois suites sont linéairement dépendantes, on peut montrer que l'une de ces trois suites peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres.
Solution détaillée
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\), \(\displaystyle{w_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln(n)}\).
D'où, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(1\),\( w_n=v_n-u_n\) et donc :
\((w_n)_{n\in\mathbb N^*}=(v_n)_{n\in\mathbb N^*}-(u_n)_{n\in\mathbb N^*}\)
La suite \((w_n)_{n\in\mathbb N^*}\) s'écrit comme combinaison linéaire des deux autres suites.
Les trois suites sont donc linéairement dépendantes.