Espace vectoriel C^2
Partie
Question
On considère le \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\) et les vecteurs suivants : \(u=(1+i,1-2i)\), \(v=(-2,1+3i)\)
La partie \(\{u,v\}\) est-elle une partie libre de \(\mathbb C^2\) ?
Répondre à la même question en considérant le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\).
Aide simple
Partir de l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\quad(1)\).
Ecrire le vecteur \(\alpha u+\beta v\) sous forme de couple, puis traduire l'égalité \((1)\) sous forme de système.
Aide méthodologique
On cherche les couples \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbf K^2\) (dans le 1. \(\mathbf K=\mathbb C\) et dans le 2. \(\mathbf K=\mathbb R\)) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\quad(1)\).
Le couple \((0,0)\) vérifie toujours l'égalité \((1)\). Si c'est le seul couple vérifiant \((1)\) alors la partie \(\{u,v\}\) est libre, sinon la partie \(\{u,v\}\) est liée.
Aide à la lecture
\(\mathbb C\) est muni d'une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb C\) et aussi d'une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\). \(\mathbb C^2\) est donc muni d'une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb C\) et aussi d'une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\).
Dans le 1. \(\mathbb C^2\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb C\). Les scalaires sont alors des nombres complexes.
Dans le 2. \(\mathbb C^2\) est un espace vectoriel sur \(\mathbb R\). Les scalaires sont alors des nombres réels.
Dans les deux cas, il s'agit de répondre à la question suivante : \(\alpha\), \(\beta\) étant deux scalaires, l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\) implique-t-elle \(\alpha=\beta=0\)?
Solution détaillée
On cherche les couples \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbb C^2\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\quad(1)\).
\((1)\Leftrightarrow\alpha(1+i,1-2i)+\beta(-2,1+3i)=(0,0)\).
Chercher les couples \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbb C^2\) qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\) revient à résoudre dans \(\mathbb C^2\) le système \((S)\) suivant :
\(\left\{\begin{array}{rcccl}(1+i)\alpha&-&2\beta&=&0\\(1-2i)\alpha&+&(1+3i)\beta&=&0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}\beta&=\displaystyle{\frac{1+i}{2}\alpha}\\\alpha&\displaystyle{\left[(1-2i)+(1+3i)\left(\frac{1+i}{2}\right)\right] }=0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}\beta&=&\displaystyle{\frac{1+i}{2}\alpha}\\\\0\alpha&=&0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow\displaystyle{\beta=\frac{1+i}{2}\alpha}\)
Le système \((S)\) admet donc une infinité de solutions : ce sont tous les couples \((\alpha,\beta)\) tels que \(\displaystyle{\beta=\frac{1+i}{2}\alpha}\)
Par exemple, si on choisit \(\alpha=2\), le couple \((2,1+i)\) est solution de \((S)\), on a donc \(2u+(1+i)v=0\)
On a trouvé une combinaison linéaire des deux vecteurs \(u\) et \(v\) qui est égale à \(0\) avec des coefficients non tous nuls.
On peut aussi écrire\( \displaystyle{u=-\frac{1+i}{2}v}\).
On peut donc conclure que la partie est une partie \(\{u,v\}\) liée du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(\mathbb C^2\).
En procédant comme dans le 1. on montre que chercher les couples \((\alpha,\beta)\) de \(\mathbb R^2\)
qui vérifient l'égalité \(\alpha u+\beta v=0\) revient à résoudre dans \(\mathbb R^2\) le système \((S')\) suivant
\(\left\{\begin{array}{rcrcl}(1+i)\alpha&-&2\beta&=&0\\(1-2i)\alpha&+&(1+3i)\beta&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcl}(\alpha-2\beta)&+&\alpha i&=&0\\(\alpha+\beta)&+&(-2\alpha+3\beta)i&=&0\end{array}\right.\)
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
Les nombres \(\alpha\) et \(\beta\) étant réels, le système \((S')\) est donc équivalent au système suivant :
\(\left\{\begin{array}{ccccc}\alpha&-&2\beta&=&0\\\alpha&&&=&0\\\alpha&+&\beta&=&0\\-2\alpha&+&3\beta&=&0\end{array}\right.\)
Le couple \((0,0)\) est donc l'unique solution du système \((S')\).
La partie \(\{u,v\}\) est donc une partie libre du \(\mathbb R\)-espace vectoriel \(\mathbb C^2\).