Espace vectoriel quelconque [Espace vectoriel de type fini]

Espace vectoriel quelconque

Partie

Question

Dans un espace vectoriel $E$ sur le corps $\mathbb C$ , démontrer que, si les vecteurs $u$ , $v$ , $w$ sont linéairement indépendants, il en est de même des vecteurs $u+v$ , $v+w$ , $w+u$ .

Aide simple

Partir de l'égalité $\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0$ ,

puis écrire le vecteur $\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)$ comme combinaison linéaire des vecteurs $u$ , $v$ et $w$ .

Aide méthodologique

On cherche les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb C^3$ qui vérifient l'égalité $\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\quad(1)$ .

Le triplet $(0,0,0)$ vérifie toujours l'égalité $(1)$ .

Si c'est le seul triplet vérifiant $(1)$ alors la partie $\{u+v,v+w,w+u\}$ est libre,

sinon la partie $\{u+v,v+w,w+u\}$ est liée.

Solution détaillée

On cherche les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb C^3$ qui vérifient l'égalité :

$\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0\quad(1)$ .

$(1)\Leftrightarrow(\alpha+\gamma)u+(\alpha+\beta)v+(\beta+\gamma)w=0$

D'après l'hypothèse, la partie $\{u,v,w\}$ est libre.

Donc $\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0$ est équivalent à

$\left\{\begin{array}{lllllll}\alpha&&&+&\gamma&=&0\\\alpha&+&\beta&&&=&0\\&&\beta&+&\gamma&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow~\left\{\begin{array}{ccc}\gamma&=&-\alpha\\\beta&=&-\alpha\\\gamma&=&-\beta\end{array}\right.\Leftrightarrow~\alpha=\beta=\gamma=0$

Le seul triplet vérifiant l'égalité $\alpha(u+v)+\beta(v+w)+\gamma(w+u)=0$ est le triplet $(0,0,0)$ .

Les vecteurs $u+v$ , $v+w$ , $w+u$ sont donc linéairement indépendants.