Espace vectoriel des fonctions de R dans R
Partie
Question
Dans l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\), on considère les fonctions suivantes :
\(f: x\mapsto\cos~2x\) ; \(g: x\mapsto\cos^2x\) ; \(h: x\mapsto1\) ; \(k: x\mapsto\sin~2x\)
La partie \(\{f,g,h\}\) est-elle une partie libre ?
La partie \(\{f,h,k\}\) est-elle une partie libre ?
Aide simple
Pour le 1. exprimer \(\cos~2x\) en fonction de \(\cos^2x\).
Pour le 2. partir de l'égalité \(\alpha f+\beta h+\gamma k=0\).
Aide méthodologique
On peut chercher, à l'aide de formules trigonométriques, si l'une des trois fonctions peut s'écrire comme combinaison linéaire des deux autres. Si cette recherche est infructueuse on cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha f+\beta g+\gamma h=0\) (resp. \(\alpha f+\beta h+\gamma k=0\)).
Ne pas oublier que \(\alpha f+\beta g+\gamma h=0\) signifie que, pour tout réel \(x\), \(\alpha f(x)+\beta g(x)+\gamma h(x)=0\).
Solution détaillée
En utilisant la formule d'addition \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) on obtient :
pour tout réel \(x\), \(\cos~2x=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x-(1-\cos^2x)=2\cos^2x-1\).
On en déduit que \(f=2g-h\). La fonction \(f\) s'écrit donc comme combinaison linéaire des fonctions \(g\) et \(h\).
la partie \(\{f,g,h\}\) est donc une partie liée.
On cherche les triplets \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) qui vérifient l'égalité \(\alpha f+\beta h+\gamma k=0\quad(1)\).
Le triplet \((0,0,0)\) vérifie toujours cette égalité. Mais est-ce le seul ?
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb R~~\alpha f(x)+\beta h(x)+\gamma k(x)=0\)
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb R~~\alpha\cos~2x+\beta+\gamma\sin~2x=0\)
Si l'égalité \(\alpha\cos~2x+\beta+\gamma\sin~2x=0\) est vraie pour tout réel \(x\), elle est en particulier
vraie pour \(x=0\) donc \(\alpha+\beta=0\)
vraie pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}\) donc \(-\alpha+\beta=0\)
vraie pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{4}}\) donc \(\beta+\gamma=0\)
Le système \(\left\{\begin{array}{rccll}\alpha&+&\beta&=&0\\-\alpha&+&\beta&=&0\\\beta&+&\gamma&=&0\end{array}\right.\) a pour solution unique le triplet \((0,0,0)\).
Pour que l'égalité \(\alpha\cos~2x+\beta+\gamma\sin~2x=0\) soit vraie pour \(x=0\), pour \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}\), \(\displaystyle{x=\frac{\pi}{4}}\), , il est nécessaire d'avoir \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
Le triplet \((0,0,0)\) est donc le seul triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) pour lequel l'égalité \(\alpha\cos~2x+\beta+\gamma\sin~2x=0\) est vraie pour tout réel \(x\).
La partie \(\{f,h,k\}\) est donc une partie libre.
Question
Etant donné trois réels \(a\), \(b\), \(c\), on considère les fonctions suivantes :
\(f:x\mapsto e^{ax}\) ; \(g:x\mapsto e^{bx}\) ; \(h:x\mapsto e^{cx}\)
Montrer que la partie \(\{f,g,h\}\) est une partie libre de l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) si et seulement si les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts.
Aide détaillée
Montrer l'implication \(Q\Rightarrow P\) revient à montrer l'implication \(non\textrm{ }P\Rightarrow non\textrm{ }Q\).
Pour montrer l'implication \(P\Rightarrow Q\), se placer dans l'hypothèse où les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts, en supposant par exemple que \(a<b<c\), et considérer trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) qui vérifient l'égalité \(\alpha f+\beta g+\gamma h=0\).
Utiliser ensuite le résultat suivant : la fonction exponentielle a pour limite \(0\) en moins l'infini.
Aide à la lecture
En désignant par \(P\) la propriété :
Les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts.
Et par \(Q\) la propriété :
La partie \(\{f,g,h\}\) est une partie libre.
Il s'agit de montrer l'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\).
Aide méthodologique
En désignant par \(P\) la propriété :
Les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts.
Et par \(Q\) la propriété :
La partie \(\{f,g,h\}\) est une partie libre.
Il s'agit de montrer l'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\).
Pour montrer cette équivalence on peut montrer les deux implications \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\).
L'implication \(P\Rightarrow Q\) signifie que la condition \(P\) est une condition suffisante pour avoir la condition \(Q\).
L'implication \(Q\Rightarrow P\) signifie que la condition \(P\) est une condition nécessaire pour avoir la condition \(Q\).
L'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\) signifie que la condition \(P\) est une condition nécessaire et suffisante pour avoir la condition \(Q\).
Solution détaillée
Soit \(P\) la propriété
Propriété : Propriété P
Les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts.
Et \(Q\) la propriété
Propriété : Propriété Q
La partie \(\{f,g,h\}\) est une partie libre.
Il s'agit de montrer l'équivalence \(P\Leftrightarrow Q\).
Montrons d'abord l'implication \(Q\Rightarrow P\).
Cela revient aussi à montrer l'implication \(non\textrm{ }P\Rightarrow non\textrm{ }Q\).
Si les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) ne sont pas deux à deux distincts, deux au moins parmi ces trois réels sont égaux. Deux au moins des trois fonctions \(f\), \(g\), \(h\) sont alors égales et la partie \(\{f,g,h\}\) est donc une partie liée.
On a donc démontré l'implication \(non\textrm{ }P\Rightarrow non\textrm{ }Q\) et donc l'implication \(Q\Rightarrow P\).
La condition \(P\) est donc une condition nécessaire pour avoir la condition \(Q\), c'est-à-dire qu'il est nécessaire d'avoir \(a\), \(b\), \(c\) deux à deux distincts pour que la partie \(\{f,g,h\}\) soit libre.
Montrons maintenant l'implication \(P\Rightarrow Q\).
On se place donc dans l'hypothèse où les trois réels \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts : on peut supposer que \(a<b<c\).
Pour montrer que la partie \(\{f,g,h\}\) est une partie libre, on considère trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) tels que \(\alpha f+\beta g+\gamma h=0\).
On a alors, pour tout réel \(x\), \(\alpha e^{ax}+\beta e^{bx}+\gamma e^{cx}=0\) ; pour tout réel \(x\), \(e^{ax}\) étant différent de zéro, on peut diviser par \(e^{ax}\).
D'où, pour tout réel \(x\), \(\alpha+\beta e^{(b-a)x}+\gamma e^{(c-a)x}=0\).
Donc la fonction \(x\mapsto\alpha+\beta e^{(b-a)x}+\gamma e^{(c-a)x}\) est la fonction nulle,
et donc \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}(\alpha+\beta e^{(b-a)x}+\gamma e^{(c-a)x})=0}\).
Or \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}(\alpha+\beta e^{(b-a)x}+\gamma e^{(c-a)x})=\alpha}\) car \(b-a>0\) et \(c-a>0\). On a donc \(\alpha=0\).
On a donc pour tout réel \(x\), \(\beta e^{bx}+\gamma e^{cx}=0\).
En divisant par \(e^{bx}\), on obtient de la même façon \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow-\infty}(\beta+\gamma e^{(c-b)x})=\beta=0}\).
D'où, pour tout réel \(x\), \(\gamma e^{cx}=0\) et donc \(\gamma=0\).
On a donc démontré que, pour tout triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\), l'égalité \(\alpha f+\beta g+\gamma h=0\) implique \(\alpha=\beta=\gamma=0\).
La partie \(\{f,g,h\}\) est donc une partie libre.
On a donc démontré l'implication \(P\Rightarrow Q\). La condition \(P\) est donc une condition suffisante pour avoir la condition \(Q\), c'est-à-dire, la condition "\(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts" est une condition suffisante pour que la partie \(\{f,g,h\}\) soit libre.
Question
Pour \(k\) élément de \(\mathbb N^*\), on note \(e_k\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(x\mapsto x^k\) et on \(e_0\) note la fonction \(x\mapsto1\).
Montrer que pour tout entier \(n\) de \(\mathbb N\), la partie \(A_n\) définie par \(A_n=\{e_k~|~0\le k\le n\}\) est une partie libre de l'espace vectoriel des fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
Aide simple
Partir de l'égalité \(\lambda_0e_0+\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=0\).
Utiliser la définition des fonctions \(e_k\) puis le résultat suivant :
si une fonction est égale à la fonction nulle ses dérivées successives sont aussi égales à la fonction nulle et donc ses dérivées successives en \(0\) sont nulles.
Aide à la lecture
Les vecteurs manipulés ici sont des fonctions.
Les vecteurs de la partie \(A_n\) sont les fonctions \(x\mapsto1,~x\mapsto x,~x\mapsto x^2,\cdots,x\mapsto x^n\)
Aide méthodologique
On cherche les \(n+1\)-uplets \((\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\) de \(\mathbb R^{n+1}\) qui vérifient l'égalité \(\lambda_0e_0+\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=0\quad(1)\).
Montrer que la partie \(A_n\) est libre revient à montrer que le \(n+1\)-uplet \((0,0,\cdots,0)\) est le seul \(n+1\)-uplet vérifiant l'égalité \((1)\).
Solution détaillée
On cherche les \(n+1\)-uplets \((\lambda_0,\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\) de \(\mathbb R^{n+1}\) qui vérifient l'égalité \(\lambda_0e_0+\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=0\quad(1)\).
\((1)\Leftrightarrow\forall x\in\mathbb R,\lambda_0+\lambda_1x+\cdots+\lambda_nx^n=0\)
On pose, pour tout réel \(x\), \(P(x)=\lambda_0+\lambda_1x+\cdots+\lambda_nx^n\). En dérivant \(n\) fois on obtient pour tout réel \(x\) :
\(\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrr}P(x)&=&\lambda_0&+&\lambda_1x&+&\lambda_2x^2&+&\cdots&+&\lambda_{n-1}x^{n-1}&+&\lambda_nx^n\\P'(x)&=&&&\lambda_1&+&2\lambda_2x&+&\cdots&+&(n-1)\lambda_{n-1}x^{n-2}&+&n\lambda_nx^{n-1}\\P''(x)&=&&&&&2\lambda_2&+&\cdots&+&(n-1)(n-2)\lambda_{n-1}x^{n-3}&+&n(n-1)\lambda_nx^{n-2}\\\vdots&&&&&&&&&&&\\P^{(n-1)}(x)&=&&&&&&&&&(n-1)!\lambda^{n-1}&+&n!\lambda_nx\\P^{(n)}(x)&=&&&&&&&&&&&n!\lambda_n\end{array}\right.\)
L'égalité \((1)\) signifie que la fonction \(P\) est la fonction nulle.
Si une fonction est égale à la fonction nulle ses dérivées successives sont aussi égales à la fonction nulle et donc ses dérivées successives en \(0\) sont nulles.
On obtient donc \(\lambda_n=0\) puis \(\lambda_{n-1}=0,~\lambda_{n-2}=0,\cdots\), et \(\lambda_0=0\).
L'égalité \(\lambda_0e_0+\lambda_1e_1+\cdots+\lambda_ne_n=0\) n'est vraie que dans le cas où tous les coefficients \(\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) sont nuls.
La partie \(A_n\) est donc libre.