Espace vectoriel R^4 [Espace vectoriel de type fini]

Espace vectoriel R^4

Partie

Question

On considère les vecteurs de $\mathbb R^4$ suivants : $u=(1,2,0,-1)$ , $v=(2,0,1,3)$ , $w=(-1,6,-2,-9)$

La partie $\{u,v,w\}$ est-elle une partie libre de $\mathbb R^4$ ?

Aide simple

Partir de l'égalité $\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)$ .

Ecrire le vecteur $\alpha u+\beta v+\gamma w$ sous forme de quadruplet, puis traduire l'égalité $(1)$ sous forme de système.

Aide méthodologique

On cherche les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb R^3$ qui vérifient l'égalité $\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)$ .

Le triplet $(0,0,0)$ vérifie toujours l'égalité $(1)$ . Si c'est le seul triplet vérifiant $(1)$ alors la partie $\{u,v,w\}$ est libre, sinon la partie $\{u,v,w\}$ est liée.

Aide à la lecture

Il s'agit de répondre à la question suivante :

$\alpha,\beta,\gamma$ étant trois réels, l'égalité $\alpha u+\beta v+\gamma w=0$ implique-t-elle $\alpha=\beta=\gamma=0$ ?

Solution détaillée

On cherche les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb R^3$ qui vérifient l'égalité $\alpha u+\beta v+\gamma w=0\quad(1)$ .

$(1)\Leftrightarrow(\alpha+2\beta-\gamma,2\alpha+6\gamma,\beta-2\gamma,-\alpha+3\beta-9\gamma)=(0,0,0,0)$

L'égalité de deux triplets se traduit par l'égalité des composantes de même rang.

Chercher les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb R^3$ qui vérifient l'égalité $\alpha u+\beta v+\gamma w=0$ revient donc à résoudre le système $(S)$ suivant :

$(S)\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0\\2\alpha&&&+&6\gamma&=&0\\&&\beta&-&2\gamma&=&0\\-\alpha&+&3\beta&-&9\gamma&=&0\end{array}\right.$

équivalent à $\left\{\begin{array}{rcrcrcll}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0&\\&-&4\beta&+&8\gamma&=&0&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\&&\beta&-&2\gamma&=&0&\\&&5\beta&-&10\gamma&=&0&L_3\leftarrow L_3+L_1\end{array}\right.$

équivalent à $\left\{\begin{array}{rcrcrcl}\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&0\\&&\beta&-&2\gamma&=&0\end{array}\right.$

équivalent à $\left\{\begin{array}{rcr}\beta&=&2\gamma\\\alpha&=&-3\gamma\end{array}\right.$

Le système $(S)$ admet donc une infinité de solutions :

ce sont tous les triplets $(\alpha,\beta,\gamma)$ tels que $\left\{\begin{array}{rcr}\alpha&=&-3\gamma\\\beta&=&2\gamma\end{array}\right.$

Par exemple, si on choisit $\gamma=1$ , le triplet $(-3,2,1)$ est solution de $(S)$ , et on a donc $-3u+2v+w=0$

On a trouvé une combinaison linéaire des trois vecteurs $u,v,w$ qui est égale à $0$ avec des coefficients non tous nuls.

On peut donc conclure que la partie $\{u,v,w\}$ est liée.