Addition et composition d'applications linéaires
Partie
Question
On considère les applications \(f\) et \(g\) de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^2\) définie par :
\(f :(x,y)\mapsto(x,0)\)
\(g :(x,y)\mapsto(0,y)\)
Vérifier que \(f\) et \(g\) sont linéaires.
Calculer \(f\circ f\),\(g\circ g\) , \(f+g\),\(f\circ g\) , \(g\circ f\).
Aide simple
Se donner \(u\) et \(v\) deux éléments de \(\mathbb R^2\) et deux réels \(\alpha,\beta\) puis écrire \(\alpha u+\beta v\) sous forme de couple pour en calculer l'image par \(f\) et par \(g\).
Aide méthodologique
Pour montrer qu'une application \(f\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\) est linéaire, on peut vérifier que :
\(\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\)
La somme et la composée de deux applications linéaires sont des applications linéaires. Pour définir ces applications, on calcule l'image par chacune d'elles d'un élément quelconque \((x,y)\) de \(\mathbb R^2\).
Aide à la lecture
On construit de nouvelles applications à partir de \(f\) et \(g\), par addition et composition.
Rappel :
\((f+g)(u)=f(u)+g(u)\)
\((f\circ g)(u)=f(g(u))\)
Solution détaillée
Soient \(u=(x,y)\) et \(v=(x',y')\) deux vecteurs de \(\mathbb R^2\), et \(\alpha, \beta\) deux réels.
\(\begin{array}{ccccccc}\alpha u+\beta v&=&(\alpha x+\beta x', \alpha y+\beta y')&&&&\\ f(\alpha u+\beta v)&=&(\alpha x+\beta x',0)&=&\alpha(x,0)+\beta(x',0)&=&\alpha f(u)+\beta f(v)\\ g(\alpha u+\beta v)&=&(0,\alpha y+\beta y')&=&\alpha(0,y)+\beta(0,y')&=&\alpha g(u)+\beta g(v)\end{array}\)
Les applications \(f\) et \(g\) sont donc linéaires.
Soit \(u=(x,y)\):
\((f\circ f)(u)=f(f(u))=f((x,0))=(x,0)=f(u)\)
On a donc \(f\circ f=f\).
\((g\circ g)(u)=g(g(u))=g((0,y))=(0,y)=g(u)\)
On a donc \(g\circ g=g\).
\((f+g)(u)=f(u)+g(u)=(x,0)+(0,y)=(x,y)=u\)
On a donc \(f+g=Id_{\mathbb R^2}\).
\((f\circ g)(u)=f(g(u))=f((0,y))=(0,0)\)
\((g\circ f)(u)=g(f(u))=g((x,0))=(0,0)\)
On a donc \(f\circ g=g\circ f=0\) application nulle de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^2\).
Complément :
Si on appelle \(D_1\) la droite vectorielle engendrée par le vecteur \(e_1=(1,0)\) et \(D_2\) la droite vectorielle engendrée par \(e_2=(0,1)\), \(D_1\) et \(D_2\) sont bien supplémentaires (\(D_1\oplus D_2=\mathbb R^2\)) ; l'application \(f\) est la projection sur \(D_1\) parallèlement à \(D_2\) et \(g\) est la projection sur \(D_2\) parallèlement à \(D_1\).