Déterminer si une application de C dans C est linéaire, en considérant successivement la structure de C-espace vectoriel de C, puis sa structure de R-espace vectoriel
Partie
Question
On considère l'application \(f\) de \(\mathbb C\) dans \(\mathbb C\) qui à un nombre complexe associe son conjugué.
Répondre à la question : " l'application \(f\) est-elle linéaire ? " en envisageant les deux cas :
\(\mathbb C\) est muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb C\)
\(\mathbb C\) est muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\)
Aide simple
Pour les deux structures d'espace vectoriel la loi interne est la même : c'est l'addition usuelle dans \(\mathbb C\) ; la compatibilité de l'application \(f\) avec cette loi est évidente (le conjugué de la somme de deux complexes est égale à la somme des conjugués).
Il faut ensuite étudier la compatibilité de \(f\) avec la loi externe en considérant successivement les deux cas :
les scalaires sont des complexes
les scalaires sont des réels
Aide méthodologique
Soit une application \(f\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\).
Pour démontrer que \(f\) est linéaire, on peut vérifier que :
\(\forall(u,v)\in E^2,f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,f(\alpha u)=\alpha f(u)\)
ou bien que \(\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v).\)
Pour démontrer que \(f\) n'est pas linéaire on peut :
ou bien montrer que \(f(0_E)\neq0_F\)
ou bien trouver deux vecteurs de \(E\), \(u\) et \(v\) tels que \(f(u+v)\neq f(u)+f(v)\)
ou bien trouver un vecteur \(u\) de \(E\), et un scalaire \(\alpha\) tels que \(f(\alpha u)\neq\alpha f(u)\)
Aide à la lecture
L'ensemble \(\mathbb C\) des complexes peut être muni d'une structure d'espace vectoriel sur lui-même en prenant comme loi de composition interne l'addition usuelle, et pour loi externe la multiplication usuelle de deux complexes, où on considère le premier facteur comme un scalaire (complexe) et le second comme un vecteur (complexe).
On peut également munir \(\mathbb C\) d'une structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\) en conservant la même opération interne (addition) et en prenant pour opération externe la multiplication d'un complexe (vecteur) par un réel (scalaire).
L'application \(f\) considérée est l'application de \(\mathbb C\) dans \(\mathbb C\) : \(z\mapsto\overline{z}\).
Solution détaillée
Pour tous complexes \(z_1,z_2\), on a : \(f(z_1+z_2)=\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}=f(z_1)+f(z_2)\).
Donc, dans les deux cas, \(f\) est compatible avec l'addition de \(\mathbb C\).
On se place dans le cas où \(\mathbb C\) est muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb C\) ; les scalaires sont donc des complexes.
On compare \(f(\alpha z)\) et \(\alpha f(z)\): \(f(az)=\overline{\alpha z}\) et \(\alpha f(z)=\alpha\overline{z}\).
Ils sont distincts si \(\alpha\) n'est pas réel et \(z\neq0\).
Par exemple si \(\alpha=i\) et \(z=1\), on a \(f(\alpha z)=\overline{i}=-i\) et \(\alpha f(z)=i\overline{1}=i\).
L'application \(f\) n'est pas linéaire.
On considère maintenant le cas où \(\mathbb C\) est muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\) ; les scalaires sont donc des réels.
Pour tout nombre réel \(\alpha\) et tout nombre complexe \(z\), on a :
\(f(\alpha z)=\overline{\alpha z}=\overline{\alpha}.\overline{z}=\alpha\overline{z}=\alpha f(z)\)
L'application \(f\) est linéaire.